fbpx
Wikipedia

Andengradspolynomium

Et andengradspolynomium er et polynomium, hvori den uafhængige variabel indgår i op til anden potens. Det har altså følgende forskrift:

P 2 ( x ) = a x 2 + b x + c , a 0 {\displaystyle P_{2}(x)=ax^{2}+bx+c\quad ,\quad a\neq 0}

hvor P 2 ( x ) {\displaystyle P_{2}(x)} er en funktion af den uafhængige variabel x {\displaystyle x} , og a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} og c {\displaystyle c} er konstanter.

En funktion uden andenordensleddet er et førstegradspolynomium. En funktion, hvor det højeste led er af tredje orden, er et tredjegradspolynomium.

Indholdsfortegnelse

Andengradspolynomiets graf i kartesiske koordinater er en parabel. I hvert billede varieres én af konstanter a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} og c {\displaystyle c} , mens da andre holdes konstante.

Hvis konstanten c {\displaystyle c} ændres, ændrer funktionsværdierne sig lige så meget. Konstanten b {\displaystyle b} afgør sammen med a {\displaystyle a} , hvor funktionens ekstremum er, mens a {\displaystyle a} alene bestemmer krumningen eller den anden afledte, idet:

d 2 P 2 ( x ) d x 2 = 2 a {\displaystyle {\frac {d^{2}P_{2}(x)}{dx^{2}}}=2a}

Det ses, at krumningen bliver større, når a {\displaystyle a} bliver større, og et negativt a {\displaystyle a} giver en negativ krumning.

Uddybende artikel: Andengradsligning
x {\displaystyle x} -værdierne til de punkter hvor andengradspolynomiet P 2 ( x ) = x 2 x 2 {\displaystyle P_{2}(x)=x^{2}-x-2} skærer x {\displaystyle x} -aksen er r 1 = 1 {\displaystyle r_{1}=-1} og r 2 = 2 {\displaystyle r_{2}=2} , hvilket er løsninger til andengradsligningen x 2 x 2 = 0 {\displaystyle x^{2}-x-2=0}

For andengradspolynomiets nulpunkter eller rødder r i {\displaystyle r_{i}} gælder

P 2 ( r i ) = a r i 2 + b r i + c = 0 {\displaystyle P_{2}(r_{i})=ar_{i}^{2}+br_{i}+c=0}

hvilket er en andengradsligning.

Løsning

Nulpunkterne er givet ved

r i = b ± b 2 4 a c 2 a {\displaystyle r_{i}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}

hvor udtrykket i kvadratroden er diskriminanten d {\displaystyle d} :

d = b 2 4 a c {\displaystyle d=b^{2}-4ac}

Diskriminanten er afgørende for hvilke løsninger, der er mulige. Det gælder:

  • d > 0 {\displaystyle d>0} : 2 reelle løsninger:
  • d = 0 {\displaystyle d=0} : 1 reel løsning; denne løsning kaldes en dobbeltrod.
  • d < 0 {\displaystyle d<0} : Ingen reelle løsninger, men 2 komplekst konjugerede løsninger. Dette sker, fordi kvadratroden tages af et negativt tal.

Andengradspolynomiet er symmetrisk omkring ét enkelt punkt s {\displaystyle s} givet ved:

s = b 2 a {\displaystyle s=-{\frac {b}{2a}}}

Bevis for symmetri

Det kan vises ved at teste, om der findes et punkt, der opfylder symmetribetingelsen:

P 2 ( s h ) = P 2 ( s + h ) , h > 0 {\displaystyle P_{2}(s-h)=P_{2}(s+h)\quad ,\quad h>0}

hvor h {\displaystyle h} er en konstant. Forskriften skrives ud og forsimples så vidt muligt:

a ( s h ) 2 + b ( s h ) + c = a ( s + h ) 2 + b ( s + h ) + c a ( s h ) 2 + b s b h = a ( s + h ) 2 + b s + b h a s 2 + a h 2 2 a s h + b s b h = a s 2 + a h 2 + 2 a s h + b s + b h 2 a s h b h = 2 a s h + b h h ( 2 a s + b ) = h ( 2 a s + b ) {\displaystyle {\begin{aligned}a(s-h)^{2}+b(s-h)+c&=a(s+h)^{2}+b(s+h)+c\\a(s-h)^{2}+bs-bh&=a(s+h)^{2}+bs+bh\\as^{2}+ah^{2}-2ash+bs-bh&=as^{2}+ah^{2}+2ash+bs+bh\\-2ash-bh&=2ash+bh\\-h(2as+b)&=h(2as+b)\end{aligned}}}

Kun nul kan være lig med minus sig selv. Da h {\displaystyle h} er større end nul, må udtrykket i parentesen være nul:

2 a s + b = 0 2 a s = b s = b 2 a {\displaystyle {\begin{aligned}2as+b&=0\\2as&=-b\\s&=-{\frac {b}{2a}}\end{aligned}}}

Det ses, at der altså er et punkt, som polynomiet er symmetrisk omkring. Dette er også polynomiets ekstremum, da funktionen enten er stigende på begge sider af punktet eller faldende på begge sider af punktet.

Et andengradspolynomium har altid ét ekstremum T p {\displaystyle T_{p}} , og koordinaterne for dette er bestemt ved følgende formel:

T p = ( b 2 a ; d 4 a ) {\displaystyle T_{p}=\left(-{\frac {b}{2a}};-{\frac {d}{4a}}\right)}

Det vil enten være et minimum eller et maksimum afhængigt af, om konstanten a {\displaystyle a} er positiv eller negativ.

Udledning af ekstremum

Da x {\displaystyle x} -værdien for polynomiet allerede er fundet under Symmetri, kan den indsættes i funktionsforskriften for at finde y {\displaystyle y} -værdien:

t = P 2 ( s ) t = a ( b 2 a ) 2 + b ( b 2 a ) + c t = a b 2 4 a 2 b 2 2 a + c t = b 2 4 a + c t = b 2 4 a c 4 a t = d 4 a {\displaystyle {\begin{aligned}t&=P_{2}(s)\\t&=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c\\t&=a{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\\t&=-{\frac {b^{2}}{4a}}+c\\t&=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\\t&=-{\frac {d}{4a}}\end{aligned}}}

hvilket er det ønskede udtryk.

Udledning ved differentiation

Hvis x {\displaystyle x} -værdien ikke allerede kendes fra symmetrien, kan den findes ved at differentiere andengradspolynomiet, da hældningen i et ekstremum er nul. Hældningen er givet ved:

d P 2 ( x ) d x = 2 a x + b {\displaystyle {\frac {dP_{2}(x)}{dx}}=2ax+b}

Dette sættes til nul, så s {\displaystyle s} kan findes:

2 a s + b = 0 2 a s = b s = b 2 a {\displaystyle {\begin{aligned}2as+b&=0\\2as&=-b\\s&=-{\frac {b}{2a}}\end{aligned}}}

Det ses, at ekstremum er det samme som symmetripunktet.

Forskriften for et andengradspolynomium kan omskrives, så forskellige aspekter ved polynomiet bliver tydeligere. Herunder præsenteres faktorisering og toppunktsnotation.

Faktorisering

For at gøre rødderne tydelige kan et andengradspolynomium skrives som:

P 2 ( x ) = a ( x r 1 ) ( x r 2 ) {\displaystyle P_{2}(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})}

Bevis for faktorisering

At polynomiet kan udtrykkes med rødderne, kan vises. Først ganges parenteserne sammen:

P 2 ( x ) = a ( x 2 ( r 1 + r 2 ) x + r 1 r 2 ) {\displaystyle P_{2}(x)=a(x^{2}-(r_{1}+r_{2})x+r_{1}r_{2})}

Generelt er rødderne:

r 1 = b + d 2 a r 2 = b d 2 a {\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}&={\frac {-b+{\sqrt {d}}}{2a}}\\r_{2}&={\frac {-b-{\sqrt {d}}}{2a}}\end{aligned}}}

Dette indsættes:

P 2 ( x ) = a ( x 2 ( b + d 2 a + b d 2 a ) x + b + d 2 a b d 2 a ) P 2 ( x ) = a ( x 2 + b a x + 1 4 a 2 ( b 2 d ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}P_{2}(x)&=a\left(x^{2}-\left({\frac {-b+{\sqrt {d}}}{2a}}+{\frac {-b-{\sqrt {d}}}{2a}}\right)x+{\frac {-b+{\sqrt {d}}}{2a}}\cdot {\frac {-b-{\sqrt {d}}}{2a}}\right)\\P_{2}(x)&=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {1}{4a^{2}}}(b^{2}-d)\right)\end{aligned}}}

Udtrykket for diskriminanten indsættes nu:

P 2 ( x ) = a ( x 2 + b a x + 1 4 a 2 ( b 2 b 2 + 4 a c ) ) P 2 ( x ) = a ( x 2 + b a x + 4 a c 4 a 2 ) P 2 ( x ) = a ( x 2 + b a x + c a ) P 2 ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystyle {\begin{aligned}P_{2}(x)&=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {1}{4a^{2}}}(b^{2}-b^{2}+4ac)\right)\\P_{2}(x)&=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {4ac}{4a^{2}}}\right)\\P_{2}(x)&=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}\right)\\P_{2}(x)&=ax^{2}+bx+c\end{aligned}}}

Hvilket er det oprindelige udtryk.

Toppunktsnotation

For at gøre polynomiets ekstremum tydeligt, kan forskriften skrives som:

P 2 ( x ) = a ( x s ) 2 + t {\displaystyle P_{2}(x)=a(x-s)^{2}+t}

Bevis for toppunktsnotation

Ligesom faktorisering kan denne notation vises ved at indsætte udtrykkene for ekstremum:

P 2 ( x ) = a ( x + b 2 a ) 2 d 4 a P 2 ( x ) = a ( x 2 + b 2 4 a 2 + b a x ) d 4 a P 2 ( x ) = a x 2 + b x + b 2 4 a d 4 a P 2 ( x ) = a x 2 + b x + b 2 d 4 a {\displaystyle {\begin{aligned}P_{2}(x)&=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {d}{4a}}\\P_{2}(x)&=a\left(x^{2}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {b}{a}}x\right)-{\frac {d}{4a}}\\P_{2}(x)&=ax^{2}+bx+{\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {d}{4a}}\\P_{2}(x)&=ax^{2}+bx+{\frac {b^{2}-d}{4a}}\end{aligned}}}

Udtrykket for diskriminanten indsættes:

P 2 ( x ) = a x 2 + b x + b 2 b 2 + 4 a c 4 a P 2 ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystyle {\begin{aligned}P_{2}(x)&=ax^{2}+bx+{\frac {b^{2}-b^{2}+4ac}{4a}}\\P_{2}(x)&=ax^{2}+bx+c\end{aligned}}}

Hvilket er det oprindelige udtryk.

  • Karush, William (1962): Matematisk opslagsbog, Politikens Forlag (2. udg., 4. opl. 2000); ISBN 87-567-5511-2.
  • (engelsk)

Andengradspolynomium
andengradspolynomium, sprog, overvåg, rediger, andengradspolynomium, polynomium, hvori, uafhængige, variabel, indgår, anden, potens, altså, følgende, forskrift, displaystyle, quad, quad, hvor, displaystyle, funktion, uafhængige, variabel, displaystyle, display. Andengradspolynomium Sprog Overvag Rediger Et andengradspolynomium er et polynomium hvori den uafhaengige variabel indgar i op til anden potens Det har altsa folgende forskrift P 2 x a x 2 b x c a 0 displaystyle P 2 x ax 2 bx c quad quad a neq 0 hvor P 2 x displaystyle P 2 x er en funktion af den uafhaengige variabel x displaystyle x og a displaystyle a b displaystyle b og c displaystyle c er konstanter En funktion uden andenordensleddet er et forstegradspolynomium En funktion hvor det hojeste led er af tredje orden er et tredjegradspolynomium Indholdsfortegnelse 1 Konstanternes rolle 2 Nulpunkter 2 1 Losning 3 Symmetri 3 1 Bevis for symmetri 4 Ekstremum 4 1 Udledning af ekstremum 4 2 Udledning ved differentiation 5 Omskrivninger 5 1 Faktorisering 5 1 1 Bevis for faktorisering 5 2 Toppunktsnotation 5 2 1 Bevis for toppunktsnotation 6 Litteratur 7 Eksterne henvisningerKonstanternes rolle Rediger Andengradspolynomiets graf i kartesiske koordinater er en parabel I hvert billede varieres en af konstanter a displaystyle a b displaystyle b og c displaystyle c mens da andre holdes konstante Hvis konstanten c displaystyle c aendres aendrer funktionsvaerdierne sig lige sa meget Konstanten b displaystyle b afgor sammen med a displaystyle a hvor funktionens ekstremum er mens a displaystyle a alene bestemmer krumningen eller den anden afledte idet d 2 P 2 x d x 2 2 a displaystyle frac d 2 P 2 x dx 2 2a Det ses at krumningen bliver storre nar a displaystyle a bliver storre og et negativt a displaystyle a giver en negativ krumning Nulpunkter Rediger Uddybende artikel Andengradsligning x displaystyle x vaerdierne til de punkter hvor andengradspolynomiet P 2 x x 2 x 2 displaystyle P 2 x x 2 x 2 skaerer x displaystyle x aksen er r 1 1 displaystyle r 1 1 og r 2 2 displaystyle r 2 2 hvilket er losninger til andengradsligningen x 2 x 2 0 displaystyle x 2 x 2 0 For andengradspolynomiets nulpunkter eller rodder r i displaystyle r i gaelder P 2 r i a r i 2 b r i c 0 displaystyle P 2 r i ar i 2 br i c 0 hvilket er en andengradsligning Losning Rediger Nulpunkterne er givet ved r i b b 2 4 a c 2 a displaystyle r i frac b pm sqrt b 2 4ac 2a hvor udtrykket i kvadratroden er diskriminanten d displaystyle d d b 2 4 a c displaystyle d b 2 4ac Diskriminanten er afgorende for hvilke losninger der er mulige Det gaelder d gt 0 displaystyle d gt 0 2 reelle losninger d 0 displaystyle d 0 1 reel losning denne losning kaldes en dobbeltrod d lt 0 displaystyle d lt 0 Ingen reelle losninger men 2 komplekst konjugerede losninger Dette sker fordi kvadratroden tages af et negativt tal Symmetri RedigerAndengradspolynomiet er symmetrisk omkring et enkelt punkt s displaystyle s givet ved s b 2 a displaystyle s frac b 2a Bevis for symmetri Rediger Det kan vises ved at teste om der findes et punkt der opfylder symmetribetingelsen P 2 s h P 2 s h h gt 0 displaystyle P 2 s h P 2 s h quad quad h gt 0 hvor h displaystyle h er en konstant Forskriften skrives ud og forsimples sa vidt muligt a s h 2 b s h c a s h 2 b s h c a s h 2 b s b h a s h 2 b s b h a s 2 a h 2 2 a s h b s b h a s 2 a h 2 2 a s h b s b h 2 a s h b h 2 a s h b h h 2 a s b h 2 a s b displaystyle begin aligned a s h 2 b s h c amp a s h 2 b s h c a s h 2 bs bh amp a s h 2 bs bh as 2 ah 2 2ash bs bh amp as 2 ah 2 2ash bs bh 2ash bh amp 2ash bh h 2as b amp h 2as b end aligned Kun nul kan vaere lig med minus sig selv Da h displaystyle h er storre end nul ma udtrykket i parentesen vaere nul 2 a s b 0 2 a s b s b 2 a displaystyle begin aligned 2as b amp 0 2as amp b s amp frac b 2a end aligned Det ses at der altsa er et punkt som polynomiet er symmetrisk omkring Dette er ogsa polynomiets ekstremum da funktionen enten er stigende pa begge sider af punktet eller faldende pa begge sider af punktet Ekstremum RedigerEt andengradspolynomium har altid et ekstremum T p displaystyle T p og koordinaterne for dette er bestemt ved folgende formel T p b 2 a d 4 a displaystyle T p left frac b 2a frac d 4a right Det vil enten vaere et minimum eller et maksimum afhaengigt af om konstanten a displaystyle a er positiv eller negativ Udledning af ekstremum Rediger Da x displaystyle x vaerdien for polynomiet allerede er fundet under Symmetri kan den indsaettes i funktionsforskriften for at finde y displaystyle y vaerdien t P 2 s t a b 2 a 2 b b 2 a c t a b 2 4 a 2 b 2 2 a c t b 2 4 a c t b 2 4 a c 4 a t d 4 a displaystyle begin aligned t amp P 2 s t amp a left frac b 2a right 2 b left frac b 2a right c t amp a frac b 2 4a 2 frac b 2 2a c t amp frac b 2 4a c t amp frac b 2 4ac 4a t amp frac d 4a end aligned hvilket er det onskede udtryk Udledning ved differentiation Rediger Hvis x displaystyle x vaerdien ikke allerede kendes fra symmetrien kan den findes ved at differentiere andengradspolynomiet da haeldningen i et ekstremum er nul Haeldningen er givet ved d P 2 x d x 2 a x b displaystyle frac dP 2 x dx 2ax b Dette saettes til nul sa s displaystyle s kan findes 2 a s b 0 2 a s b s b 2 a displaystyle begin aligned 2as b amp 0 2as amp b s amp frac b 2a end aligned Det ses at ekstremum er det samme som symmetripunktet Omskrivninger RedigerForskriften for et andengradspolynomium kan omskrives sa forskellige aspekter ved polynomiet bliver tydeligere Herunder praesenteres faktorisering og toppunktsnotation Faktorisering Rediger For at gore rodderne tydelige kan et andengradspolynomium skrives som P 2 x a x r 1 x r 2 displaystyle P 2 x a x r 1 x r 2 Bevis for faktorisering Rediger At polynomiet kan udtrykkes med rodderne kan vises Forst ganges parenteserne sammen P 2 x a x 2 r 1 r 2 x r 1 r 2 displaystyle P 2 x a x 2 r 1 r 2 x r 1 r 2 Generelt er rodderne r 1 b d 2 a r 2 b d 2 a displaystyle begin aligned r 1 amp frac b sqrt d 2a r 2 amp frac b sqrt d 2a end aligned Dette indsaettes P 2 x a x 2 b d 2 a b d 2 a x b d 2 a b d 2 a P 2 x a x 2 b a x 1 4 a 2 b 2 d displaystyle begin aligned P 2 x amp a left x 2 left frac b sqrt d 2a frac b sqrt d 2a right x frac b sqrt d 2a cdot frac b sqrt d 2a right P 2 x amp a left x 2 frac b a x frac 1 4a 2 b 2 d right end aligned Udtrykket for diskriminanten indsaettes nu P 2 x a x 2 b a x 1 4 a 2 b 2 b 2 4 a c P 2 x a x 2 b a x 4 a c 4 a 2 P 2 x a x 2 b a x c a P 2 x a x 2 b x c displaystyle begin aligned P 2 x amp a left x 2 frac b a x frac 1 4a 2 b 2 b 2 4ac right P 2 x amp a left x 2 frac b a x frac 4ac 4a 2 right P 2 x amp a left x 2 frac b a x frac c a right P 2 x amp ax 2 bx c end aligned Hvilket er det oprindelige udtryk Toppunktsnotation Rediger For at gore polynomiets ekstremum tydeligt kan forskriften skrives som P 2 x a x s 2 t displaystyle P 2 x a x s 2 t Bevis for toppunktsnotation Rediger Ligesom faktorisering kan denne notation vises ved at indsaette udtrykkene for ekstremum P 2 x a x b 2 a 2 d 4 a P 2 x a x 2 b 2 4 a 2 b a x d 4 a P 2 x a x 2 b x b 2 4 a d 4 a P 2 x a x 2 b x b 2 d 4 a displaystyle begin aligned P 2 x amp a left x frac b 2a right 2 frac d 4a P 2 x amp a left x 2 frac b 2 4a 2 frac b a x right frac d 4a P 2 x amp ax 2 bx frac b 2 4a frac d 4a P 2 x amp ax 2 bx frac b 2 d 4a end aligned Udtrykket for diskriminanten indsaettes P 2 x a x 2 b x b 2 b 2 4 a c 4 a P 2 x a x 2 b x c displaystyle begin aligned P 2 x amp ax 2 bx frac b 2 b 2 4ac 4a P 2 x amp ax 2 bx c end aligned Hvilket er det oprindelige udtryk Litteratur RedigerKarush William 1962 Matematisk opslagsbog Politikens Forlag 2 udg 4 opl 2000 ISBN 87 567 5511 2 Eksterne henvisninger RedigerMatLex Andengradsligninger Quadratic Equation from MathWorld engelsk Online lommeregnere AndengradspolynomiumHentet fra https da wikipedia org w index php title Andengradspolynomium amp oldid 10625193, wikipedia, wiki, bog, bøger, bibliotek,

artikel

, læs, download, gratis, gratis download, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, billede, musik, sang, film, bog, spil, spil.