fbpx
Wikipedia

Aritmetik

Der er for få eller ingen kildehenvisninger i denne artikel, hvilket er et problem. Du kan hjælpe ved at angive troværdige kilder til de påstande, som fremføres i artiklen.

Aritmetik (gr. arithmetiké, læren om tal, af gr. arithmos, tal) er en gren af matematikken, der studerer de fundamentale principper ved visse aritmetiske operationertal. De traditionelle operationer er addition (+), subtraktion (-), multiplikation (*) og division (/); men også de lidt mere avancerede rødder og eksponent er en del af aritmetikken. Aritmetiske operationer udføres i forhold til de forskellige operationers prioritet.

Aritmetik

Denne prioritet er som følger:

  1. eksponenter, potenser
  2. multiplikation, division
  3. addition, subtraktion

Rødder indgår under potenser, da de kan skrives således:

z = z 1 2 {\displaystyle {\sqrt {z}}=z^{\frac {1}{2}}}

z 4 = z 1 4 {\displaystyle {\sqrt[{4}]{z}}=z^{\frac {1}{4}}}

Mere generelt:

z x y = z y x {\displaystyle {\sqrt[{x}]{z}}^{y}=z^{\frac {y}{x}}}

Disse er vigtige at huske, når ligninger skal løses.

Aritmetik med naturlige tal, heltal, rationale tal og reelle tal bliver der undervist i på folkeskoleniveau.

Udtrykket aritmetisk bruges sommetider også om talteori.

Først demonstreres, hvorledes simple ligningssystemer løses. Man skal ALTID gøre det samme på begge sider af lighedstegnet:

Addition/subtraktion Multiplikation/division
Husk at holde styr på fortegnene. Husk altid at benytte sig af parenteser, når ligninger løses ved division/multiplikation på begge sider af lighedstegnet:
Addition

x 2 = 3 x 2 + 2 = 3 + 2 {\displaystyle x-2=-3\quad \Leftrightarrow \quad x-2+2=-3+2\quad \Leftrightarrow }

x = 1 {\displaystyle x=-1}

Multiplikation

k {\displaystyle k} er en konstant.

x 2 = 3 + k 2 x 2 = 2 ( 3 + k ) x = 6 + 2 k {\displaystyle {\frac {x}{2}}=-3+k\quad \Leftrightarrow \quad {\frac {2\cdot x}{2}}=2\cdot (-3+k)\quad \Leftrightarrow \quad x=-6+2\cdot k}

Subtraktion

2 + x = 3 2 + x 2 = 3 2 {\displaystyle 2+x=-3\quad \Leftrightarrow \quad 2+x-2=-3-2\quad \Leftrightarrow }

x = 5 {\displaystyle x=-5}

Division

k {\displaystyle k} er en konstant.

2 x = 3 + k 2 x 2 = ( 3 + k ) 2 x = 3 2 + k 2 {\displaystyle 2\cdot x=-3+k\quad \Leftrightarrow \quad {\frac {2\cdot x}{2}}={\frac {(-3+k)}{2}}\quad \Leftrightarrow \quad x={\frac {-3}{2}}+{\frac {k}{2}}}

  • Fremgangsmetoden

Her vises vha. konstanter, hvordan regnereglerne skal benyttes korrekt:

3 ( ( x 2 ) 2 3 ) = 8 x 2 {\displaystyle 3((x-2)^{2}-3)={\frac {8}{x^{2}}}}

De rigtige fremgangsmåder skal nu huskes,

  • Først, potenser

Vi har to potenser, en ved

( x 2 ) 2 {\displaystyle (x-2)^{2}}

og

x 2 {\displaystyle x^{2}}

, hhv. den første skal ganges ud, mens den sidste ikke kan forkortes mere end allerede.

3 ( ( x 2 ) 2 3 ) = 8 x 2 3 ( ( x 2 ) ( x 2 ) 3 ) = 8 x 2 {\displaystyle 3((x-2)^{2}-3)={\frac {8}{x^{2}}}\quad \Leftrightarrow \quad 3((x-2)\cdot (x-2)-3)={\frac {8}{x^{2}}}\quad \Leftrightarrow \quad }

3 ( x 2 4 x + 4 3 ) = 8 x 2 {\displaystyle 3(x^{2}-4x+4-3)={\frac {8}{x^{2}}}}

  • Anden, division/multiplikation

Da ganges ind i parenteserne osv.

3 ( x 2 4 x + 1 ) = 8 x 2 3 x 2 12 x + 3 = 8 x 2 {\displaystyle 3(x^{2}-4x+1)={\frac {8}{x^{2}}}\quad \Leftrightarrow \quad 3x^{2}-12x+3={\frac {8}{x^{2}}}\quad \Leftrightarrow }

x 2 ( 3 x 2 12 x + 3 ) = 8 3 ( x 2 ) 2 12 x x 2 + 3 x 2 = 8 {\displaystyle x^{2}(3x^{2}-12x+3)=8\quad \Leftrightarrow \quad 3(x^{2})^{2}-12x\cdot x^{2}+3x^{2}=8\quad \Leftrightarrow }

3 x 4 12 x 3 + 3 x 2 = 8 x 4 4 x 3 + x 2 = 8 3 {\displaystyle 3x^{4}-12x^{3}+3x^{2}=8\quad \Leftrightarrow \quad x^{4}-4x^{3}+x^{2}={\frac {8}{3}}}

Ovenstående to ligninger kan man selv vælge, hvilken der falder bedst i smag.

Wikimedia Commons har medier relateret til:

Aritmetik
aritmetik, gren, matematik, sprog, overvåg, rediger, eller, ingen, kildehenvisninger, denne, artikel, hvilket, problem, hjælpe, angive, troværdige, kilder, påstande, fremføres, artiklen, arithmetiké, læren, arithmos, gren, matematikken, studerer, fundamentale,. Aritmetik gren af matematik Sprog Overvag Rediger Der er for fa eller ingen kildehenvisninger i denne artikel hvilket er et problem Du kan hjaelpe ved at angive trovaerdige kilder til de pastande som fremfores i artiklen Aritmetik gr arithmetike laeren om tal af gr arithmos tal er en gren af matematikken der studerer de fundamentale principper ved visse aritmetiske operationer pa tal De traditionelle operationer er addition subtraktion multiplikation og division men ogsa de lidt mere avancerede rodder og eksponent er en del af aritmetikken Aritmetiske operationer udfores i forhold til de forskellige operationers prioritet Aritmetik Denne prioritet er som folger eksponenter potenser multiplikation division addition subtraktion Rodder indgar under potenser da de kan skrives saledes z z 1 2 displaystyle sqrt z z frac 1 2 z 4 z 1 4 displaystyle sqrt 4 z z frac 1 4 Mere generelt z x y z y x displaystyle sqrt x z y z frac y x Disse er vigtige at huske nar ligninger skal loses Aritmetik med naturlige tal heltal rationale tal og reelle tal bliver der undervist i pa folkeskoleniveau Udtrykket aritmetisk bruges sommetider ogsa om talteori Prioriteringsraekkefolge RedigerForst demonstreres hvorledes simple ligningssystemer loses Man skal ALTID gore det samme pa begge sider af lighedstegnet Addition subtraktion Multiplikation divisionHusk at holde styr pa fortegnene Husk altid at benytte sig af parenteser nar ligninger loses ved division multiplikation pa begge sider af lighedstegnet Addition x 2 3 x 2 2 3 2 displaystyle x 2 3 quad Leftrightarrow quad x 2 2 3 2 quad Leftrightarrow x 1 displaystyle x 1 Multiplikation k displaystyle k er en konstant x 2 3 k 2 x 2 2 3 k x 6 2 k displaystyle frac x 2 3 k quad Leftrightarrow quad frac 2 cdot x 2 2 cdot 3 k quad Leftrightarrow quad x 6 2 cdot k Subtraktion 2 x 3 2 x 2 3 2 displaystyle 2 x 3 quad Leftrightarrow quad 2 x 2 3 2 quad Leftrightarrow x 5 displaystyle x 5 Division k displaystyle k er en konstant 2 x 3 k 2 x 2 3 k 2 x 3 2 k 2 displaystyle 2 cdot x 3 k quad Leftrightarrow quad frac 2 cdot x 2 frac 3 k 2 quad Leftrightarrow quad x frac 3 2 frac k 2 Fremgangsmetoden Her vises vha konstanter hvordan regnereglerne skal benyttes korrekt 3 x 2 2 3 8 x 2 displaystyle 3 x 2 2 3 frac 8 x 2 De rigtige fremgangsmader skal nu huskes Forst potenser Vi har to potenser en ved x 2 2 displaystyle x 2 2 og x 2 displaystyle x 2 hhv den forste skal ganges ud mens den sidste ikke kan forkortes mere end allerede 3 x 2 2 3 8 x 2 3 x 2 x 2 3 8 x 2 displaystyle 3 x 2 2 3 frac 8 x 2 quad Leftrightarrow quad 3 x 2 cdot x 2 3 frac 8 x 2 quad Leftrightarrow quad 3 x 2 4 x 4 3 8 x 2 displaystyle 3 x 2 4x 4 3 frac 8 x 2 Anden division multiplikation Da ganges ind i parenteserne osv 3 x 2 4 x 1 8 x 2 3 x 2 12 x 3 8 x 2 displaystyle 3 x 2 4x 1 frac 8 x 2 quad Leftrightarrow quad 3x 2 12x 3 frac 8 x 2 quad Leftrightarrow x 2 3 x 2 12 x 3 8 3 x 2 2 12 x x 2 3 x 2 8 displaystyle x 2 3x 2 12x 3 8 quad Leftrightarrow quad 3 x 2 2 12x cdot x 2 3x 2 8 quad Leftrightarrow 3 x 4 12 x 3 3 x 2 8 x 4 4 x 3 x 2 8 3 displaystyle 3x 4 12x 3 3x 2 8 quad Leftrightarrow quad x 4 4x 3 x 2 frac 8 3 Ovenstaende to ligninger kan man selv vaelge hvilken der falder bedst i smag Se ogsa RedigerAssociativitet Kommutativitet Distributivitet Wikimedia Commons har medier relateret til AritmetikHentet fra https da wikipedia org w index php title Aritmetik amp oldid 10803370, wikipedia, wiki, bog, bøger, bibliotek,

artikel

, læs, download, gratis, gratis download, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, billede, musik, sang, film, bog, spil, spil.