fbpx
Wikipedia

Brøk

2 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}}
Brøken "to
tredjedele"

2 / 3 {\displaystyle \,\!2/3}
Alternativ
skrivemåde

En brøk er en måde at repræsentere et tal på ved hjælp af division: Den skrives som vist til højre, som en vandret brøkstreg der adskiller to tal, tælleren øverst og nævneren neden under. Ind i mellem ser man også brøker skrevet med en skråstreg i stedet for den vandrette brøkstreg – typisk hvis den første skrivemåde er teknisk besværlig eller umulig at opnå.

En brøk repræsenterer det eksakte tal man får ved at dividere tælleren med nævneren: Eksemplet med 2 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}} repræsenterer således 2 : 3, der udtrykt som decimalbrøk er ca. 0,6667 – dette tal kan faktisk ikke skrives helt præcist som et decimaltal, så brøker er nyttige hvis man ønsker at beregne noget helt eksakt.

Specielt hvis både tæller og nævner er et heltal, så er brøken et rationalt tal.

Indholdsfortegnelse

Man skelner mellem ægte og uægte brøker, hvor de ægte brøker altid repræsenterer et tal der er (numerisk) mindre end 1, f.eks. 2 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}} . Er tælleren større end eller lig nævneren, repræsenterer brøken et tal der er (numerisk) større end eller lig 1, og så er der tale om en uægte brøk.
Uægte brøker kan også skrives som et såkaldt blandet tal. For eksempel er 3 2 = 1 + 1 2 {\displaystyle {\frac {3}{2}}=1+{\frac {1}{2}}} , og som blandet tal skrives denne brøk således 1 1 2 {\displaystyle 1{\frac {1}{2}}} . Denne notation bør dog undgås da 1 1 2 {\displaystyle 1{\frac {1}{2}}} normalt vil blive opfattet som 1 1 2 = 1 2 {\displaystyle 1\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}}

Ved at multiplicere ("gange") tælleren a og nævneren b med ét og samme tal, får man en "ny" brøk, som repræsenterer samme tal som den oprindelige brøk. Matematisk kan man skrive det således:
a b = a c b c {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a\cdot c}{b\cdot c}}}
Man omtaler det sådan at brøken a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} er blevet forlænget med tallet c. I eksemplet herunder forlænges brøken 2 5 {\displaystyle {\frac {2}{5}}} med 3:
2 5 = 2 3 5 3 = 6 15 {\displaystyle {\frac {2}{5}}={\frac {2\cdot 3}{5\cdot 3}}={\frac {6}{15}}}
Bemærk at 2 5 {\displaystyle {\frac {2}{5}}} og 6 15 {\displaystyle {\frac {6}{15}}} begge repræsenterer det samme tal, nemlig 0,4.

Omvendt, hvis man kan finde et tal c der går op i både tæller og nævner (dvs. begge tal kan deles med c uden at der bliver en rest), kan man dividere tælleren og nævneren med dette tal, og få en ny brøk der stadigvæk repræsenterer samme tal som den oprindelige brøk. Dette kaldes at forkorte en brøk, og matematisk kan det skrives sådan her:
a b = a : c b : c {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a:c}{b:c}}}
Brøken a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} siges at være forkortet med tallet c. I eksemplet herunder bliver brøken 6 8 {\displaystyle {\frac {6}{8}}} forkortet med 2:
6 8 = 6 : 2 8 : 2 = 3 4 {\displaystyle {\frac {6}{8}}={\frac {6:2}{8:2}}={\frac {3}{4}}} Igen ser man at både den oprindelige brøk og resultatet af forkortelsen repræsenterer samme tal, her 0,75.

Der findes et antal regneregler der gør det muligt at regne direkte på brøker, så man bibeholder den eksakte repræsentation af tallene:

Addition og subtraktion

Hvis de to brøker har samme nævner, kan man uden videre lægge dem sammen eller trække dem fra hinanden, ved at addere eller subtrahere tællerne, og bevare nævneren. Matematisk skrives dette således:
a c + b c = a + b c {\displaystyle {\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}={\frac {a+b}{c}}} hhv. a c b c = a b c {\displaystyle {\frac {a}{c}}-{\frac {b}{c}}={\frac {a-b}{c}}}
I eksemplet herunder beregnes summen af 1 5 {\displaystyle {\frac {1}{5}}} og 3 5 {\displaystyle {\frac {3}{5}}} :
1 5 + 3 5 = 1 + 3 5 = 4 5 {\displaystyle {\frac {1}{5}}+{\frac {3}{5}}={\frac {1+3}{5}}={\frac {4}{5}}}
Efter additionen (subtraktionen) kan resultat-brøken muligvis forkortes.

Hvis brøkerne har forskellige nævnere, bliver det nødvendigt at forlænge den ene eller begge brøker sådan at de får ens nævnere – brøkerne repræsenterer stadigvæk de samme tal selv om man forlænger eller forkorter dem. Derefter kan de adderes eller subtraheres som nævnt ovenfor.
Man kan bruge produktet af de to nævnere som den fælles nævner:
a b + c d = a d b d + c b d b = a d + c b b d {\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot d}}+{\frac {c\cdot b}{d\cdot b}}={\frac {a\cdot d+c\cdot b}{b\cdot d}}}
Bemærk at den første brøk forlænges med den sidstes nævner, og den sidste brøk forlænges med den førstes nævner. Derved bliver nævnerne hhv. b · d og d · b, som jo er lig med hinanden.
I eksemplet herunder adderes brøkerne 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} og 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} :
1 2 + 1 3 = 1 3 2 3 + 1 2 3 2 = 3 6 + 2 6 = 5 6 {\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}={\frac {1\cdot 3}{2\cdot 3}}+{\frac {1\cdot 2}{3\cdot 2}}={\frac {3}{6}}+{\frac {2}{6}}={\frac {5}{6}}}
I det sidste eksempel subtraheres to brøker. Som fællesnævner vælges her et mindre tal end produktet af de oprindelige nævnere, men alligevel bliver det til sidst muligt at forkorte:
5 6 1 10 = 5 10 6 10 1 6 10 6 = 50 60 6 60 = 44 60 = 11 15 {\displaystyle {\frac {5}{6}}-{\frac {1}{10}}={\frac {5\cdot 10}{6\cdot 10}}-{\frac {1\cdot 6}{10\cdot 6}}={\frac {50}{60}}-{\frac {6}{60}}={\frac {44}{60}}={\frac {11}{15}}}

Multiplikation

Man multiplicerer ("ganger") to brøker med hinanden ved at multiplicere tællerne for sig og nævnerne for sig:
a b c d = a c b d {\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}}
Resultatet efter multiplikationen kan muligvis forkortes.

I dette eksempel multipliceres brøkerne 3 5 {\displaystyle {\frac {3}{5}}} og 1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} :
3 5 1 4 = 3 1 5 4 = 3 20 {\displaystyle {\frac {3}{5}}\cdot {\frac {1}{4}}={\frac {3\cdot 1}{5\cdot 4}}={\frac {3}{20}}}

Reciprokke brøker

Man finder den reciprokke af en brøk ved ganske enkelt at bytte om på brøkens tæller og nævner:
1 a b = b a {\displaystyle {\frac {1}{\frac {a}{b}}}={\frac {b}{a}}}
Eksempelvis er det reciprokke af 3 4 {\displaystyle {\frac {3}{4}}} lig med 4 3 {\displaystyle {\frac {4}{3}}} . Denne uægte brøk kan i øvrigt skrives som det blandede tal 1 1 3 {\displaystyle 1{\frac {1}{3}}} .

Division

Generelt gælder, at man kan dividere to tal ved at multiplicere dividenden med det reciprokke af divisoren, altså a : b = a 1 b {\displaystyle a:b=a\cdot {\frac {1}{b}}} . Dette kan også bruges til division af brøker, hvor beregningen ser sådan her ud:
a b : c d = a b 1 c d = a b d c = a d b c {\displaystyle {\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {1}{\frac {c}{d}}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot c}}}
Skal man f.eks. dividere 4 5 {\displaystyle {\frac {4}{5}}} med 2 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}} , foregår det sådan her:
4 5 : 2 3 = 4 5 1 2 3 = 4 5 3 2 = 12 10 {\displaystyle {\frac {4}{5}}:{\frac {2}{3}}={\frac {4}{5}}\cdot {\frac {1}{\frac {2}{3}}}={\frac {4}{5}}\cdot {\frac {3}{2}}={\frac {12}{10}}}
Denne uægte brøk kan forkortes til 6 5 {\displaystyle {\frac {6}{5}}} . og skrives som det blandede tal 1 1 5 {\displaystyle 1{\frac {1}{5}}} .

Umuligheden af division med nul

Man kan ikke dividere med nul. Antag, at f.eks. 7 0 {\displaystyle {\frac {7}{0}}} skulle have et resultat, kaldet x {\displaystyle x} :

7 0 = x {\displaystyle {\frac {7}{0}}=x}

så vil det gælde, at 7 = 0 x = 0 {\displaystyle 7=0\cdot x=0} , hvilket jo er umuligt. Brøken a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} , hvor b = 0 {\displaystyle b=0} , er altså et meningsløst udsagn.

Rødder og potenser

Man uddrager den n'te rod af en brøk ved at uddrage samme rod af hhv. tæller og nævner:
a b n = a n b n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}}
For eksempel uddrager man kvadratroden (n = 2) af 9 16 {\displaystyle {\frac {9}{16}}} således:
9 16 = 9 16 = 3 4 {\displaystyle {\sqrt {\frac {9}{16}}}={\frac {\sqrt {9}}{\sqrt {16}}}={\frac {3}{4}}}
Tilsvarende gælder for den n'te potens af en brøk:
( a b ) n = a n b n {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}

Logaritmer

Da en brøk egentlig er en division, gælder logaritmeregnereglen for division også for en brøk, dvs.:
l o g a b = log a log b {\displaystyle log{\frac {a}{b}}=\log a-\log b}

Brøk som eksponent

Hvis en brøk optræder som eksponenten i en potens (med positivt grundtal), kan udtrykket omskrives til en rod efter følgende princip:
10 3 5 = ( 10 5 ) 3 {\displaystyle 10^{\frac {3}{5}}=\left({\sqrt[{5}]{10}}\right)^{3}} eller 10 3 5 = 10 3 5 = 1000 5 {\displaystyle 10^{\frac {3}{5}}={\sqrt[{5}]{10^{3}}}={\sqrt[{5}]{1000}}}

Procent og promille er en måde at udtrykke ting som en brøk: "Procent" er hundrededele; ordet betyder direkte "pr. hundrede", og således er 20% = 20 100 {\displaystyle {\frac {20}{100}}} . Tilsvarende betyder "promille" "per tusinde", og f.eks. er 3 ‰ det samme som 3 1000 {\displaystyle {\frac {3}{1000}}} .

Xcas foretager brøkregning uden fælles nævner.

Der findes software som f.eks. Xcas, der kan klare brøkregning uden at beregne fælles nævner.


Brøk
brøk, sprog, overvåg, rediger, displaystyle, frac, tredjedele, displaystyle, alternativ, skrivemåde, brøk, måde, repræsentere, hjælp, division, skrives, vist, højre, vandret, brøkstreg, adskiller, tælleren, øverst, nævneren, neden, under, mellem, også, brøker,. Brok Sprog Overvag Rediger 2 3 displaystyle frac 2 3 Broken to tredjedele 2 3 displaystyle 2 3 Alternativ skrivemade En brok er en made at repraesentere et tal pa ved hjaelp af division Den skrives som vist til hojre som en vandret brokstreg der adskiller to tal taelleren overst og naevneren neden under Ind i mellem ser man ogsa broker skrevet med en skrastreg i stedet for den vandrette brokstreg typisk hvis den forste skrivemade er teknisk besvaerlig eller umulig at opna En brok repraesenterer det eksakte tal man far ved at dividere taelleren med naevneren Eksemplet med 2 3 displaystyle frac 2 3 repraesenterer saledes 2 3 der udtrykt som decimalbrok er ca 0 6667 dette tal kan faktisk ikke skrives helt praecist som et decimaltal sa broker er nyttige hvis man onsker at beregne noget helt eksakt Specielt hvis bade taeller og naevner er et heltal sa er broken et rationalt tal Indholdsfortegnelse 1 AEgte og uaegte broker 2 Forlaengelse og forkortelse 3 Regneregler for broker 3 1 Addition og subtraktion 3 2 Multiplikation 3 3 Reciprokke broker 3 4 Division 3 4 1 Umuligheden af division med nul 3 5 Rodder og potenser 3 6 Logaritmer 3 7 Brok som eksponent 4 Procent og promille 5 Software 6 Se ogsaAEgte og uaegte broker RedigerMan skelner mellem aegte og uaegte broker hvor de aegte broker altid repraesenterer et tal der er numerisk mindre end 1 f eks 2 3 displaystyle frac 2 3 Er taelleren storre end eller lig naevneren repraesenterer broken et tal der er numerisk storre end eller lig 1 og sa er der tale om en uaegte brok Uaegte broker kan ogsa skrives som et sakaldt blandet tal For eksempel er 3 2 1 1 2 displaystyle frac 3 2 1 frac 1 2 og som blandet tal skrives denne brok saledes 1 1 2 displaystyle 1 frac 1 2 Denne notation bor dog undgas da 1 1 2 displaystyle 1 frac 1 2 normalt vil blive opfattet som 1 1 2 1 2 displaystyle 1 cdot frac 1 2 frac 1 2 Forlaengelse og forkortelse RedigerVed at multiplicere gange taelleren a og naevneren b med et og samme tal far man en ny brok som repraesenterer samme tal som den oprindelige brok Matematisk kan man skrive det saledes a b a c b c displaystyle frac a b frac a cdot c b cdot c Man omtaler det sadan at broken a b displaystyle frac a b er blevet forlaenget med tallet c I eksemplet herunder forlaenges broken 2 5 displaystyle frac 2 5 med 3 2 5 2 3 5 3 6 15 displaystyle frac 2 5 frac 2 cdot 3 5 cdot 3 frac 6 15 Bemaerk at 2 5 displaystyle frac 2 5 og 6 15 displaystyle frac 6 15 begge repraesenterer det samme tal nemlig 0 4 Omvendt hvis man kan finde et tal c der gar op i bade taeller og naevner dvs begge tal kan deles med c uden at der bliver en rest kan man dividere taelleren og naevneren med dette tal og fa en ny brok der stadigvaek repraesenterer samme tal som den oprindelige brok Dette kaldes at forkorte en brok og matematisk kan det skrives sadan her a b a c b c displaystyle frac a b frac a c b c Broken a b displaystyle frac a b siges at vaere forkortet med tallet c I eksemplet herunder bliver broken 6 8 displaystyle frac 6 8 forkortet med 2 6 8 6 2 8 2 3 4 displaystyle frac 6 8 frac 6 2 8 2 frac 3 4 Igen ser man at bade den oprindelige brok og resultatet af forkortelsen repraesenterer samme tal her 0 75 Regneregler for broker RedigerDer findes et antal regneregler der gor det muligt at regne direkte pa broker sa man bibeholder den eksakte repraesentation af tallene Addition og subtraktion Rediger Hvis de to broker har samme naevner kan man uden videre laegge dem sammen eller traekke dem fra hinanden ved at addere eller subtrahere taellerne og bevare naevneren Matematisk skrives dette saledes a c b c a b c displaystyle frac a c frac b c frac a b c hhv a c b c a b c displaystyle frac a c frac b c frac a b c I eksemplet herunder beregnes summen af 1 5 displaystyle frac 1 5 og 3 5 displaystyle frac 3 5 1 5 3 5 1 3 5 4 5 displaystyle frac 1 5 frac 3 5 frac 1 3 5 frac 4 5 Efter additionen subtraktionen kan resultat broken muligvis forkortes Hvis brokerne har forskellige naevnere bliver det nodvendigt at forlaenge den ene eller begge broker sadan at de far ens naevnere brokerne repraesenterer stadigvaek de samme tal selv om man forlaenger eller forkorter dem Derefter kan de adderes eller subtraheres som naevnt ovenfor Man kan bruge produktet af de to naevnere som den faelles naevner a b c d a d b d c b d b a d c b b d displaystyle frac a b frac c d frac a cdot d b cdot d frac c cdot b d cdot b frac a cdot d c cdot b b cdot d Bemaerk at den forste brok forlaenges med den sidstes naevner og den sidste brok forlaenges med den forstes naevner Derved bliver naevnerne hhv b d og d b som jo er lig med hinanden I eksemplet herunder adderes brokerne 1 2 displaystyle frac 1 2 og 1 3 displaystyle frac 1 3 1 2 1 3 1 3 2 3 1 2 3 2 3 6 2 6 5 6 displaystyle frac 1 2 frac 1 3 frac 1 cdot 3 2 cdot 3 frac 1 cdot 2 3 cdot 2 frac 3 6 frac 2 6 frac 5 6 I det sidste eksempel subtraheres to broker Som faellesnaevner vaelges her et mindre tal end produktet af de oprindelige naevnere men alligevel bliver det til sidst muligt at forkorte 5 6 1 10 5 10 6 10 1 6 10 6 50 60 6 60 44 60 11 15 displaystyle frac 5 6 frac 1 10 frac 5 cdot 10 6 cdot 10 frac 1 cdot 6 10 cdot 6 frac 50 60 frac 6 60 frac 44 60 frac 11 15 Multiplikation Rediger Man multiplicerer ganger to broker med hinanden ved at multiplicere taellerne for sig og naevnerne for sig a b c d a c b d displaystyle frac a b cdot frac c d frac a cdot c b cdot d Resultatet efter multiplikationen kan muligvis forkortes I dette eksempel multipliceres brokerne 3 5 displaystyle frac 3 5 og 1 4 displaystyle frac 1 4 3 5 1 4 3 1 5 4 3 20 displaystyle frac 3 5 cdot frac 1 4 frac 3 cdot 1 5 cdot 4 frac 3 20 Reciprokke broker Rediger Man finder den reciprokke af en brok ved ganske enkelt at bytte om pa brokens taeller og naevner 1 a b b a displaystyle frac 1 frac a b frac b a Eksempelvis er det reciprokke af 3 4 displaystyle frac 3 4 lig med 4 3 displaystyle frac 4 3 Denne uaegte brok kan i ovrigt skrives som det blandede tal 1 1 3 displaystyle 1 frac 1 3 Division Rediger Generelt gaelder at man kan dividere to tal ved at multiplicere dividenden med det reciprokke af divisoren altsa a b a 1 b displaystyle a b a cdot frac 1 b Dette kan ogsa bruges til division af broker hvor beregningen ser sadan her ud a b c d a b 1 c d a b d c a d b c displaystyle frac a b frac c d frac a b cdot frac 1 frac c d frac a b cdot frac d c frac a cdot d b cdot c Skal man f eks dividere 4 5 displaystyle frac 4 5 med 2 3 displaystyle frac 2 3 foregar det sadan her 4 5 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 2 12 10 displaystyle frac 4 5 frac 2 3 frac 4 5 cdot frac 1 frac 2 3 frac 4 5 cdot frac 3 2 frac 12 10 Denne uaegte brok kan forkortes til 6 5 displaystyle frac 6 5 og skrives som det blandede tal 1 1 5 displaystyle 1 frac 1 5 Umuligheden af division med nul Rediger Man kan ikke dividere med nul Antag at f eks 7 0 displaystyle frac 7 0 skulle have et resultat kaldet x displaystyle x 7 0 x displaystyle frac 7 0 x sa vil det gaelde at 7 0 x 0 displaystyle 7 0 cdot x 0 hvilket jo er umuligt Broken a b displaystyle frac a b hvor b 0 displaystyle b 0 er altsa et meningslost udsagn Rodder og potenser Rediger Man uddrager den n te rod af en brok ved at uddrage samme rod af hhv taeller og naevner a b n a n b n displaystyle sqrt n frac a b frac sqrt n a sqrt n b For eksempel uddrager man kvadratroden n 2 af 9 16 displaystyle frac 9 16 saledes 9 16 9 16 3 4 displaystyle sqrt frac 9 16 frac sqrt 9 sqrt 16 frac 3 4 Tilsvarende gaelder for den n te potens af en brok a b n a n b n displaystyle left frac a b right n frac a n b n Logaritmer Rediger Da en brok egentlig er en division gaelder logaritmeregnereglen for division ogsa for en brok dvs l o g a b log a log b displaystyle log frac a b log a log b Brok som eksponent Rediger Hvis en brok optraeder som eksponenten i en potens med positivt grundtal kan udtrykket omskrives til en rod efter folgende princip 10 3 5 10 5 3 displaystyle 10 frac 3 5 left sqrt 5 10 right 3 eller 10 3 5 10 3 5 1000 5 displaystyle 10 frac 3 5 sqrt 5 10 3 sqrt 5 1000 Procent og promille RedigerProcent og promille er en made at udtrykke ting som en brok Procent er hundrededele ordet betyder direkte pr hundrede og saledes er 20 20 100 displaystyle frac 20 100 Tilsvarende betyder promille per tusinde og f eks er 3 det samme som 3 1000 displaystyle frac 3 1000 Software Rediger Xcas foretager brokregning uden faelles naevner Der findes software som f eks Xcas der kan klare brokregning uden at beregne faelles naevner Se ogsa RedigerKaedebrokHentet fra https da wikipedia org w index php title Brok amp oldid 10808203, wikipedia, wiki, bog, bøger, bibliotek,

artikel

, læs, download, gratis, gratis download, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, billede, musik, sang, film, bog, spil, spil.