fbpx
Wikipedia

Cirkel

En cirkel eller cirkelflade er en geometrisk figur i et (todimensionelt) plan. Matematisk omtales en cirkel som den geometrisk plane flade for de (uendeligt mange) punkter, som er fra nul til en maksimal afstand r {\displaystyle r} fra cirklens centrum. Afstanden r {\displaystyle r} kaldes for cirklens radius, og den kurve som punkterne i denne afstand fra cirklens centrum danner, er cirklens periferi - også kendt som cirkelperferien. Der er 360 grader i en fuld cirkel.

Indholdsfortegnelse

Visse rette linjer og linjestykker spiller en særlig rolle for cirklen, og har følgelig fået entydige navne.

  1. Cirkelbue: Et stykke af periferien (9), afgrænset af to punkter på denne.
  2. Centervinkel: En vinkel med toppunkt i cirklens centrum (4), som afgrænser en bue (1), dvs. et stykke af cirklens periferi (9).
  3. Centraltrekant: En ligebenet trekant, der afgrænses af en korde (8) mellem to punkter på periferien (9), samt af radierne (10) i de to perifieripunkter.
  4. Centrum: Punktet der populært sagt "markerer midten" af cirklen: Ethvert punkt på periferien (9) har radius' afstand til dette punkt.
  5. Cirkelafsnit: Arealet mellem buen (1) og en korde (8) eller sekant (11) mellem to punkter på periferien (9).
  6. Cirkeludsnit (eller, cirkelsektor eller sektor): Arealet mellem benene på en centervinkel (2) samt den bue (1), den afgrænser.
  7. Diameter: En ret linje der går igennem centrum (4) og to punkter på periferien (9). Ordet "diameter" bruges også om længden af dette linjestykke, som altid er dobbelt så lang som cirklens radius.
  8. Korde: et linjestykke mellem to punkter på periferien (9). En diameter (7) kan beskrives som en korde der går igennem centrum (4)
  9. Cirkelperiferi (eller cirklens periferi): En kurve bestående af samtlige punkter der har radius' afstand til centrum (4). Længden af denne kurve, målt fra et punkt og én gang rundt om cirklen, kaldes for cirklens omkreds eller perimeter.
  10. Radius: Ret linje fra centrum (4) til et vilkårligt punkt på periferien (9). Er halvt så lang som samme cirkels diameter.
  11. Sekant: En linje der skærer cirklen i to punkter på periferien. Forskellen mellem en sekant og en korde (8) er at mens korden ender i de to periferipunkter, er en sekant "forlænget" ud over disse punkter.
  12. Tangent: En linje der netop rører cirklens periferi (9) i ét punkt, og danner en ret vinkel med radien i dette punkt. En tangent kan betragtes som det "grænsetilfælde" blandt sekanter (11) hvor de to periferipunkter er "løbet sammen" til ét punkt.

En lille alternativ forklaring på begreberne:

  • Diameteren er den linje som går midt igennem cirklen.
  • Radius er det halve af diameteren.
  • Tangenten er en linje som kun rører cirklen (udenpå) i ét punkt.
  • Korden er en (indvendig) linje som forbinder 2 punkter på periferien.

Der er tale om 2 slags vinkler ved cirklen:

  • Centervinkel: En vinkel der har sit toppunkt i centrum af cirkelen. altså i midten.
  • Periferivinklen: En vinkel der har sit toppunkt på periferien, og hvis ben er korder. Altså startpunktet sidder på periferien og stregerne fungere som korder.
Animation af konstanten π {\displaystyle \pi }

Man har længe vidst at der består et konstant forhold mellem omkredsen og diameteren i enhver cirkel: Dette forhold er et irrationalt tal, og betegnes med det græske bogstav π {\displaystyle \pi } . Hvis omkredsen (længden af én "tur" rundt langs periferien) kaldes for O {\displaystyle O} og diameteren for d {\displaystyle d} , så gælder at:

O = π d {\displaystyle O=\pi \cdot d\,}

Eftersom længden r {\displaystyle r} af en radius er halvt så lang som en diameter i samme cirkel, dvs. d = 2 r {\displaystyle d=2r} , kan omkredsen også beregnes som:

O = 2 r π {\displaystyle O=2\cdot r\cdot \pi \,}

Tallet π {\displaystyle \pi } indgår også i beregningen af cirklens areal A {\displaystyle A} , idet:

A = π r 2 {\displaystyle A=\pi \cdot r^{2}\,}
A = π d 2 4 {\displaystyle A={\frac {\pi \cdot d^{2}}{4}}\,}
A = π d 2 / 4 {\displaystyle A=\pi \cdot d^{2}/4\,}


Alternativt til π {\displaystyle \pi } kan man bruge cirkelkonstanten τ = 2 π {\displaystyle \tau =2\pi } , så formlerne bliver

O = τ r {\displaystyle O=\tau \cdot r\,}

og

A = τ 2 r 2 {\displaystyle A={\frac {\tau }{2}}r^{2}\,}

Hvis man indtegner en cirkel hvis radius har længden r {\displaystyle r} i et koordinatsystem med centrum i punktet ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} , kan man opstille en ligning som tilfredsstilles af koordinatsættene ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} for de punkter der ligger på cirkelperiferien:

( x x 0 ) 2 + ( y y 0 ) 2 = r 2 {\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}\,}

Beviset for denne påstand kommer af, at man kan konstruere en retvinklet trekant som har en radie som sin hypotenuse, og beregne denne hypotenuses/radies længde ved hjælp af den pythagoræiske læresætning – alle radier har pr. definition samme længde.

Hvis ligningen efterfølgende er blevet ordnet (så led af højeste grad står først), kan det være svært at genkende ovenstående ligning, men der er dog kendetegn for ligninger der tilfredsstilles af punkter på en bestemt cirkelperiferi:

  • Det er en andengradsligning med to ubekendte, typisk x {\displaystyle x} og y {\displaystyle y} .
  • De to ubekendte forekommer hver især i anden potens, dvs. der forekommer led med hhv. (tal)·x² og (tal)·y² – (tal) er vel at mærke det samme for begge led (denne fælles koefficient er kvadratet på cirklens radius, dvs. r²).
  • Der er ikke noget led med en faktor gange x y {\displaystyle x\cdot y} .

Sammen med betingelser såsom "tangenter står altid vinkelret på en radius" kan man bruge ligningen for en cirkel til at fastlægge ligninger for tangenter, afgøre om en linje (beskrevet ved en ligning) er en sekant eller tangent til cirklen, og flere andre ting.

Cirkel
cirkel, sprog, overvåg, rediger, cirkel, eller, cirkelflade, geometrisk, figur, todimensionelt, plan, matematisk, omtales, cirkel, geometrisk, plane, flade, uendeligt, mange, punkter, maksimal, afstand, displaystyle, cirklens, centrum, afstanden, displaystyle,. Cirkel Sprog Overvag Rediger En cirkel eller cirkelflade er en geometrisk figur i et todimensionelt plan Matematisk omtales en cirkel som den geometrisk plane flade for de uendeligt mange punkter som er fra nul til en maksimal afstand r displaystyle r fra cirklens centrum Afstanden r displaystyle r kaldes for cirklens radius og den kurve som punkterne i denne afstand fra cirklens centrum danner er cirklens periferi ogsa kendt som cirkelperferien Der er 360 grader i en fuld cirkel Indholdsfortegnelse 1 Linjer i og omkring en cirkel 2 Cirklen og vaerdien p displaystyle pi pi 3 Cirklens ligning 4 Se ogsa 5 Eksterne henvisningerLinjer i og omkring en cirkel Rediger Visse rette linjer og linjestykker spiller en saerlig rolle for cirklen og har folgelig faet entydige navne Cirkelbue Et stykke af periferien 9 afgraenset af to punkter pa denne Centervinkel En vinkel med toppunkt i cirklens centrum 4 som afgraenser en bue 1 dvs et stykke af cirklens periferi 9 Centraltrekant En ligebenet trekant der afgraenses af en korde 8 mellem to punkter pa periferien 9 samt af radierne 10 i de to perifieripunkter Centrum Punktet der populaert sagt markerer midten af cirklen Ethvert punkt pa periferien 9 har radius afstand til dette punkt Cirkelafsnit Arealet mellem buen 1 og en korde 8 eller sekant 11 mellem to punkter pa periferien 9 Cirkeludsnit eller cirkelsektor eller sektor Arealet mellem benene pa en centervinkel 2 samt den bue 1 den afgraenser Diameter En ret linje der gar igennem centrum 4 og to punkter pa periferien 9 Ordet diameter bruges ogsa om laengden af dette linjestykke som altid er dobbelt sa lang som cirklens radius Korde et linjestykke mellem to punkter pa periferien 9 En diameter 7 kan beskrives som en korde der gar igennem centrum 4 Cirkelperiferi eller cirklens periferi En kurve bestaende af samtlige punkter der har radius afstand til centrum 4 Laengden af denne kurve malt fra et punkt og en gang rundt om cirklen kaldes for cirklens omkreds eller perimeter Radius Ret linje fra centrum 4 til et vilkarligt punkt pa periferien 9 Er halvt sa lang som samme cirkels diameter Sekant En linje der skaerer cirklen i to punkter pa periferien Forskellen mellem en sekant og en korde 8 er at mens korden ender i de to periferipunkter er en sekant forlaenget ud over disse punkter Tangent En linje der netop rorer cirklens periferi 9 i et punkt og danner en ret vinkel med radien i dette punkt En tangent kan betragtes som det graensetilfaelde blandt sekanter 11 hvor de to periferipunkter er lobet sammen til et punkt En lille alternativ forklaring pa begreberne Diameteren er den linje som gar midt igennem cirklen Radius er det halve af diameteren Tangenten er en linje som kun rorer cirklen udenpa i et punkt Korden er en indvendig linje som forbinder 2 punkter pa periferien Der er tale om 2 slags vinkler ved cirklen Centervinkel En vinkel der har sit toppunkt i centrum af cirkelen altsa i midten Periferivinklen En vinkel der har sit toppunkt pa periferien og hvis ben er korder Altsa startpunktet sidder pa periferien og stregerne fungere som korder Cirklen og vaerdien p displaystyle pi pi Rediger Animation af konstanten p displaystyle pi Man har laenge vidst at der bestar et konstant forhold mellem omkredsen og diameteren i enhver cirkel Dette forhold er et irrationalt tal og betegnes med det graeske bogstav p displaystyle pi Hvis omkredsen laengden af en tur rundt langs periferien kaldes for O displaystyle O og diameteren for d displaystyle d sa gaelder at O p d displaystyle O pi cdot d Eftersom laengden r displaystyle r af en radius er halvt sa lang som en diameter i samme cirkel dvs d 2 r displaystyle d 2r kan omkredsen ogsa beregnes som O 2 r p displaystyle O 2 cdot r cdot pi Tallet p displaystyle pi indgar ogsa i beregningen af cirklens areal A displaystyle A idet A p r 2 displaystyle A pi cdot r 2 A p d 2 4 displaystyle A frac pi cdot d 2 4 A p d 2 4 displaystyle A pi cdot d 2 4 Alternativt til p displaystyle pi kan man bruge cirkelkonstanten t 2 p displaystyle tau 2 pi sa formlerne bliver O t r displaystyle O tau cdot r og A t 2 r 2 displaystyle A frac tau 2 r 2 Cirklens ligning RedigerHvis man indtegner en cirkel hvis radius har laengden r displaystyle r i et koordinatsystem med centrum i punktet x 0 y 0 displaystyle x 0 y 0 kan man opstille en ligning som tilfredsstilles af koordinatsaettene x y displaystyle x y for de punkter der ligger pa cirkelperiferien x x 0 2 y y 0 2 r 2 displaystyle x x 0 2 y y 0 2 r 2 Beviset for denne pastand kommer af at man kan konstruere en retvinklet trekant som har en radie som sin hypotenuse og beregne denne hypotenuses radies laengde ved hjaelp af den pythagoraeiske laeresaetning alle radier har pr definition samme laengde Hvis ligningen efterfolgende er blevet ordnet sa led af hojeste grad star forst kan det vaere svaert at genkende ovenstaende ligning men der er dog kendetegn for ligninger der tilfredsstilles af punkter pa en bestemt cirkelperiferi Det er en andengradsligning med to ubekendte typisk x displaystyle x og y displaystyle y De to ubekendte forekommer hver isaer i anden potens dvs der forekommer led med hhv tal x og tal y tal er vel at maerke det samme for begge led denne faelles koefficient er kvadratet pa cirklens radius dvs r Der er ikke noget led med en faktor gange x y displaystyle x cdot y Sammen med betingelser sasom tangenter star altid vinkelret pa en radius kan man bruge ligningen for en cirkel til at fastlaegge ligninger for tangenter afgore om en linje beskrevet ved en ligning er en sekant eller tangent til cirklen og flere andre ting Se ogsa RedigerKeglesnitEllipse Parabel HyperbelKugle Kvadrat Enhedscirklen Cirklens kvadraturEksterne henvisninger Rediger Wikimedia Commons har flere filer relateret til CirkelHentet fra https da wikipedia org w index php title Cirkel amp oldid 10564780, wikipedia, wiki, bog, bøger, bibliotek,

artikel

, læs, download, gratis, gratis download, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, billede, musik, sang, film, bog, spil, spil.