fbpx
Wikipedia

Idealgasligning

Idealgasloven eller idealgasligningen er en matematisk model, der beskriver en ideel gas. Idealgasloven blev først formuleret i 1834 af Benoît Paul Émile Clapeyron, der ofte tilskrives at være termodynamikkens fader. I følge loven er trykket p {\displaystyle p} , volumenet V {\displaystyle V} , den absolutte temperatur T {\displaystyle T} og stofmængden n {\displaystyle n} af en gas relateret ved ligningen:

Et pV-diagram med isotermer for en idealgas ved konstant stofmængde. Jf. idealgasloven er tryk og volumen omvendt proportionale. Jo højere temperatur, jo længere ligger kurverne fra origo.
p V = n R T {\displaystyle pV=nRT}

hvor R {\displaystyle R} betegner gaskonstanten.

Idealgasloven er en manifestering af århundredes forskning i termodynamik og har været afgørende i den nuværende forståelse af den kemiske fysik såvel som den fysiske kemi.

Indholdsfortegnelse

Uddybende artikel: Idealgas

Som navnet afslører tager idealgasloven udgangspunkt i ideelle gasser. En ideel gas er en hypotetisk gas, der består af identiske partikler, der ingen volumen har, ikke virker på hinanden med intermolekylære kræfter og kun støder sammen på en sådan måde, at ingen kinetisk energi går tabt – de såkaldte elastiske sammenstød.

I virkeligheden findes der intet molekyle, der ingen volumen har. Ligeledes vil alle atomer og molekyler udvise – i hvertfald momentære – intermolekylære frastødninger og tiltrækninger. Yderligere er sammenstødene mellem gas og deres beholder ej heller elastiske – noget kinetisk energi går tabt. Idealgasloven er således kun en tilnærmelse for de gasser, den anvendes på. Det viser sig dog i de fleste tilfælde, at være en tilstrækkelig god tilnærmelse.

Idealgasloven er mest præcis ved:

  • Høje temperaturer: Ved høje temperaturer har gasmolekylerne så høj kinetisk energi E kin {\displaystyle E_{\text{kin}}} , at den potentielle energi E pot {\displaystyle E_{\text{pot}}} , der kommer af interaktionen mellem molekylerne, er meget mindre:
E pot E kin {\displaystyle E_{\text{pot}}\ll E_{\text{kin}}}
  • Lavt tryk: Ved lavt tryk er der så stor afstand mellem molekylerne imellem, at man kan se bort fra molekylernes ekskluderede volumen V mol {\displaystyle V_{\text{mol}}} .
V mol V n N A {\displaystyle V_{\text{mol}}\ll {\frac {V}{nN_{A}}}} .

Ideen om idealisere et system for at muliggøre en tilnærmende matematisk model er noget, der bruges ofte inden for fysik og kemi. Fordelen ved at idealisere et system er, at en beskrivelse af det gøres lettere. Dog er beskrivelsen i bedste fald tilnærmet, hvor man bruger ordet model. Der findes modeller, der i højere grad giver en tilfredsstillende beskrivelse af reele gasser. Disse er dog sværere at arbejde med.

Oprindeligt blev idealgasligningen fundet ved at kombinere flere empiriske love.

Udviklingen af idealgasloven har taget flere århundreder. Denne udvikling har været hel central i forståelsen af grundstoffer, atomer og disses opbygning, hvorfor udviklingen har taget så lang tid. Idealgasloven kan ses som en sammensætning af en masse sammenhænge, der igennem århundrede blev gjort mellem tryk, volumen, temperatur og stofmængde:

1662: Boyles lov

Uddybende artikel: Boyles lov

I 1662 udgav den irske kemiker Robert Boyle en sammenhæng, der senere blev kendt som Boyles lov:

Om en given mængde gas ved en given temperatur gælder, at trykket p {\displaystyle p} og volumenet V {\displaystyle V} er omvendt proportionale.

Boyles lov ses ofte formuleret på to måder, der dybest set er ens:

p V = k p 1 V 1 = p 2 V 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&pV=k\\&p_{1}V_{1}=p_{2}V_{2}\\\end{aligned}}}

1702: Gay-Lussacs lov

Uddybende artikel: Gay-Lussacs lov

I 1702 forudsage den franske fysiker Guillaume Amontons en sammenhæng mellem volumen og temperatur ud fra semieksperimentelle undersøgelser af vand. I 1802 udgav den franske kemiker og fysiker Joseph Louis Gay-Lussac sammenhængen, der siger, at trykket p {\displaystyle p} i en gas under konstant volumen er proportional med temperaturen T {\displaystyle T} :

p T {\displaystyle p\propto T}

Hvis en gas opvarmes, vil forholdet mellem tilstand 1 og tilstand 2 således være:

p 1 T 1 = p 2 T 2 {\displaystyle {\frac {p_{1}}{T_{1}}}={\frac {p_{2}}{T_{2}}}}

1802: Charles lov

I 1802 opdagede Gay-Lussac endnu en lovmæssighed. Denne gang var det mellem temperatur og volumen. Sammenhængen formuleredes:

Ved et givent volumen, ændres temperaturen af en given mængde gas med samme faktor som dens absolutte temperatur

Gay-Lussacs 2 lov ses ligeledes formuleret på to måder:

V = k T {\textstyle V=k*T}
V 1 T 1 = V 2 T 2 {\displaystyle {\frac {V_{1}}{T_{1}}}={\frac {V_{2}}{T_{2}}}}

Gay-Lussac tilskrev hans' fund til Jacques Charles, da han havde brugt meget af hans' data fra 1787. Derfor blev loven kendt som Charles lov.

1811: Avogadros lov

Uddybende artikel: Avogadros lov

I 1811 forudsage den italienske kemiker Amedeo Avogadro efter grundige eksperimenter, at der findes en sammenhæng mellem en gas' stofmængde og volumen. Dette formuleredes således:

Ens mængder idealgas består ved samme temperatur og tryk af lige mange partikler.

Med moderne nomenklatur formuleres loven ofte således: Ved ens betingelser fylder et mol gas lige meget. Loven ses også formuleret således:

n V = k {\displaystyle {\frac {n}{V}}=k}

Loven kan måske ses som blot endnu en sammenhæng i rækken, men den førte dog noget revolutionerende med sig set i lyset af de andre erkendelser. Den såkaldte gaskonstant måtte være ens for alle gasser, idet følgende nu kunne udledes:

p 1 V 1 T 1 n 1 = p 2 V 2 T 2 n 2 = k {\displaystyle {\frac {p_{1}\cdot V_{1}}{T_{1}\cdot n_{1}}}={\frac {p_{2}\cdot V_{2}}{T_{2}\cdot n_{2}}}=k}

Man kan udlede idealgassen på flere måder.

Empirisk udledning

Ud fra de forskellige lovmæssigheder, der opdagedes i perioden 1662 til 1811, kan idealgasloven udledes på fire forskellige måder. Oprindeligt blev den udledt fra Avogadros lov og Gay-Lussacs lov.

I denne artikel udledes loven ved at betragte en gas under konstant stofmænge og temperatur. Ændringen i gassen fra tilstand 0 til 1 må altså følge Boyles lov:

p 0 V 0 = p 1 V 1 {\displaystyle p_{0}V_{0}=p_{1}V_{1}}

hvor

T 0 = T 1 {\displaystyle T_{0}=T_{1}}

Gassen opvarmes nu under konstant volumen og stofmængde for at gå fra tilstand 1 til tilstand 2. Her skal Gay-Lussacs lov anvendes:

p 1 T 1 = p 2 T 2 {\displaystyle {\frac {p_{1}}{T_{1}}}={\frac {p_{2}}{T_{2}}}}

hvor

V 1 = V 2 {\displaystyle V_{1}=V_{2}}

Derfor må relationen mellem tilstand 0 og tilstand 2 være:

p 0 V 0 = p 2 T 1 T 2 V 1 p 0 V 0 T 0 = p 2 V 2 T 2 {\displaystyle {\begin{aligned}p_{0}V_{0}&={\frac {p_{2}T_{1}}{T_{2}}}V_{1}\\{\frac {p_{0}V_{0}}{T_{0}}}&={\frac {p_{2}V_{2}}{T_{2}}}\end{aligned}}}

For to beholdere med gas ved samme temperatur og samme tryk, er det kun volumenet, der vil ændre sig, når de to beholdere sættes sammen. Jf. Avogadros lov er stofmængden dermed tilsvarende øget

p V T = k n {\displaystyle {\frac {pV}{T}}=kn}

hvor konstanten k {\displaystyle k} er gaskonstanten R {\displaystyle R} :

p V = n R T {\displaystyle pV=nRT}

Dermed er idealgasligningen udledt fra de empiriske love.

Kinetisk gasteori

Hovedartikel: Kinetisk gasteori.

I dag kan loven dog også udledes gennem den kinetiske gasteoris grundbegreber for en idealgas. Dette kan gøres stringent med udgangspunkt i Maxwell-Boltzmann-fordelingen, der beskriver hastighedsfordeligen for partiklerne i en idealgas. Det er dog også muligt at lave en forsimplet, men mere intuitiv, udledning, hvor fokus ligger på en enkelt gaspartikel.

Forsimplet udledning

En idealgas ifølge den kinetiske gasteori. Hver gang en partikel støder ind i en væg, tilføres væggen en impuls, der makroskopisk bidrager til trykket.

I den forsimplede udledning betragtes en partikel, der bevæger sig i en kasse og reflekteres af væggene uden at miste energi. Den har altså en konstant fart v {\displaystyle v} . Hver gang den rammer en væg, er der desuden impulsbevarelse. Hvis en væg ligger i x {\displaystyle x} -retningen, og partiklens impulskomponent i x {\displaystyle x} -retning er P x {\displaystyle P_{x}} , skal det gælde, at

P x = P w P x {\displaystyle P_{x}=P_{\text{w}}-Px}

hvor P w {\displaystyle P_{\text{w}}} er den tilførte impuls til væggen, og minusset angiver, at partiklen er blevet reflekteret og altså bevæger sig i den modsatte retning. Den tilførte impuls pga. ét enkelt sammenstød er altså:

P w = 2 P x = 2 m v x {\displaystyle P_{\text{w}}=2Px=2mv_{x}}

hvor m {\displaystyle m} er partiklens masse. Hvis kassen i x {\displaystyle x} -retningen har længden L {\displaystyle L} skal partiklen rejse afstanden 2 L {\displaystyle 2L} for at blive reflekteret tilbage til væggen. Tiden Δ t {\displaystyle \Delta t} , det tager, er givet ved:

Δ t = 2 L v x {\displaystyle \Delta t={\frac {2L}{v_{x}}}}

Den tilførte impuls pr. tid - hvilket er det samme som kraften F 1 {\displaystyle F_{1}} - for en enkelt partikel er altså:

F 1 = d P d t = P w Δ t = 2 m v x 2 2 L = m v x 2 L {\displaystyle F_{1}={\frac {dP}{dt}}={\frac {P_{\text{w}}}{\Delta t}}={\frac {2mv_{x}^{2}}{2L}}={\frac {mv_{x}^{2}}{L}}}

Hvis væggen har et areal A {\displaystyle A} , er trykket:

p 1 = F 1 A = m v x 2 A L {\displaystyle p_{1}={\frac {F_{1}}{A}}={\frac {mv_{x}^{2}}{AL}}}

Da

V = A L {\displaystyle V=AL}

for en kasse, kan dette også skrives som:

p 1 V = m v x 2 {\displaystyle p_{1}V=mv_{x}^{2}}

Venstresiden ligner nu allerede den ønskede idealgasligning. For N {\displaystyle N} partikler skal bidragene fra hver partikel lægges sammmen:

p V = N m v x 2 {\displaystyle pV=Nm\langle v_{x}^{2}\rangle }

hvor v x 2 {\displaystyle \langle v_{x}^{2}\rangle } er gennemsnittet for partiklerne. Da

v 2 = v x 2 + v y 2 + v z 2 {\displaystyle v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}

og da partiklerne i gennemsnit bevæger sig lige meget i alle retninger, må det gælde, at

v 2 = v x 2 + v y 2 + v z 2 = 3 v x 2 {\displaystyle \langle v^{2}\rangle =\langle v_{x}^{2}\rangle +\langle v_{y}^{2}\rangle +\langle v_{z}^{2}\rangle =3\langle v_{x}^{2}\rangle }

og derfor:

v x 2 = v 2 3 {\displaystyle \langle v_{x}^{2}\rangle ={\frac {\langle v^{2}\rangle }{3}}}

Dette indsættes, og der ganges og divideres desuden med en halv:

p V = N 2 2 m v 2 3 = N 2 3 1 2 m v 2 {\displaystyle pV=N{\frac {2}{2}}m{\frac {\langle v^{2}\rangle }{3}}=N{\frac {2}{3}}{\frac {1}{2}}m\langle v^{2}\rangle }

Det ses, at den gennemsnitlige kinetiske energi står på højresiden:

p V = N 2 3 E kin {\displaystyle pV=N{\frac {2}{3}}\langle E_{\text{kin}}\rangle }

Ifølge Maxwell-Boltzmann-fordelingen er den kinetiske energi givet ved:

E kin = 3 2 k B T {\displaystyle \langle E_{\text{kin}}\rangle ={\frac {3}{2}}k_{\text{B}}T}

Det gælder derfor, at:

p V = N 2 3 3 2 k B T = N k B T {\displaystyle pV=N{\frac {2}{3}}{\frac {3}{2}}k_{B}T=Nk_{\text{B}}T}

Dermed er temperaturen introduceret, og idealgasligningen er udledt. For at få den vante form kan det anvendes, at antallet af partikler blot er antallet af mol gange Avogadros tal N A {\displaystyle N_{\text{A}}} :

p V = n N A k B T {\displaystyle pV=nN_{\text{A}}k_{\text{B}}T}

Det ses, at gaskonstanten må være givet ved:

R = N A k B {\displaystyle R=N_{\text{A}}k_{B}}

Derved er idealgasligningen blevet helt udledt.

  1. Cengel, Yunus A.; Boles, Michael A. (4th udgave). s. . ISBN 0-07-238332-1.
  2. Vestergaard, Erik, (PDF), matematikfysik.dk, s. 4-5, hentet 22. marts 2020.
  3. Vestergaard, Erik, (PDF), matematikfysik.dk, s. 3, hentet 6. maj 2019.
  4. Vestergaard, Erik, (PDF), matematikfysik.dk, s. 5-7, hentet 22. marts 2020.

Idealgasligning
idealgasligning, sprog, overvåg, rediger, idealgasloven, eller, idealgasligningen, matematisk, model, beskriver, ideel, idealgasloven, blev, først, formuleret, 1834, benoît, paul, Émile, clapeyron, ofte, tilskrives, være, termodynamikkens, fader, følge, loven,. Idealgasligning Sprog Overvag Rediger Idealgasloven eller idealgasligningen er en matematisk model der beskriver en ideel gas Idealgasloven blev forst formuleret i 1834 af Benoit Paul Emile Clapeyron der ofte tilskrives at vaere termodynamikkens fader I folge loven er trykket p displaystyle p volumenet V displaystyle V den absolutte temperatur T displaystyle T og stofmaengden n displaystyle n af en gas relateret ved ligningen Et pV diagram med isotermer for en idealgas ved konstant stofmaengde Jf idealgasloven er tryk og volumen omvendt proportionale Jo hojere temperatur jo laengere ligger kurverne fra origo p V n R T displaystyle pV nRT hvor R displaystyle R betegner gaskonstanten Idealgasloven er en manifestering af arhundredes forskning i termodynamik og har vaeret afgorende i den nuvaerende forstaelse af den kemiske fysik savel som den fysiske kemi Indholdsfortegnelse 1 Ideelle gasser 2 Historisk udvikling 2 1 1662 Boyles lov 2 2 1702 Gay Lussacs lov 2 3 1802 Charles lov 2 4 1811 Avogadros lov 3 Udledninger 3 1 Empirisk udledning 3 2 Kinetisk gasteori 3 2 1 Forsimplet udledning 4 KildehenvisningerIdeelle gasser Rediger Uddybende artikel Idealgas Som navnet afslorer tager idealgasloven udgangspunkt i ideelle gasser En ideel gas er en hypotetisk gas der bestar af identiske partikler der ingen volumen har ikke virker pa hinanden med intermolekylaere kraefter og kun stoder sammen pa en sadan made at ingen kinetisk energi gar tabt de sakaldte elastiske sammenstod I virkeligheden findes der intet molekyle der ingen volumen har Ligeledes vil alle atomer og molekyler udvise i hvertfald momentaere intermolekylaere frastodninger og tiltraekninger Yderligere er sammenstodene mellem gas og deres beholder ej heller elastiske noget kinetisk energi gar tabt Idealgasloven er saledes kun en tilnaermelse for de gasser den anvendes pa Det viser sig dog i de fleste tilfaelde at vaere en tilstraekkelig god tilnaermelse Idealgasloven er mest praecis ved 1 Hoje temperaturer Ved hoje temperaturer har gasmolekylerne sa hoj kinetisk energi E kin displaystyle E text kin at den potentielle energi E pot displaystyle E text pot der kommer af interaktionen mellem molekylerne er meget mindre E pot E kin displaystyle E text pot ll E text kin dd Lavt tryk Ved lavt tryk er der sa stor afstand mellem molekylerne imellem at man kan se bort fra molekylernes ekskluderede volumen V mol displaystyle V text mol V mol V n N A displaystyle V text mol ll frac V nN A dd Ideen om idealisere et system for at muliggore en tilnaermende matematisk model er noget der bruges ofte inden for fysik og kemi Fordelen ved at idealisere et system er at en beskrivelse af det gores lettere Dog er beskrivelsen i bedste fald tilnaermet hvor man bruger ordet model Der findes modeller der i hojere grad giver en tilfredsstillende beskrivelse af reele gasser Disse er dog svaerere at arbejde med Historisk udvikling Rediger Oprindeligt blev idealgasligningen fundet ved at kombinere flere empiriske love Udviklingen af idealgasloven har taget flere arhundreder Denne udvikling har vaeret hel central i forstaelsen af grundstoffer atomer og disses opbygning hvorfor udviklingen har taget sa lang tid Idealgasloven kan ses som en sammensaetning af en masse sammenhaenge der igennem arhundrede blev gjort mellem tryk volumen temperatur og stofmaengde 1662 Boyles lov Rediger Uddybende artikel Boyles lov I 1662 udgav den irske kemiker Robert Boyle en sammenhaeng der senere blev kendt som Boyles lov Om en given maengde gas ved en given temperatur gaelder at trykket p displaystyle p og volumenet V displaystyle V er omvendt proportionale Boyles lov ses ofte formuleret pa to mader der dybest set er ens 2 p V k p 1 V 1 p 2 V 2 displaystyle begin aligned amp pV k amp p 1 V 1 p 2 V 2 end aligned 1702 Gay Lussacs lov Rediger Uddybende artikel Gay Lussacs lov I 1702 forudsage den franske fysiker Guillaume Amontons en sammenhaeng mellem volumen og temperatur ud fra semieksperimentelle undersogelser af vand I 1802 udgav den franske kemiker og fysiker Joseph Louis Gay Lussac sammenhaengen der siger at trykket p displaystyle p i en gas under konstant volumen er proportional med temperaturen T displaystyle T p T displaystyle p propto T Hvis en gas opvarmes vil forholdet mellem tilstand 1 og tilstand 2 saledes vaere 3 p 1 T 1 p 2 T 2 displaystyle frac p 1 T 1 frac p 2 T 2 1802 Charles lov Rediger I 1802 opdagede Gay Lussac endnu en lovmaessighed Denne gang var det mellem temperatur og volumen Sammenhaengen formuleredes Ved et givent volumen aendres temperaturen af en given maengde gas med samme faktor som dens absolutte temperatur Gay Lussacs 2 lov ses ligeledes formuleret pa to mader V k T textstyle V k T V 1 T 1 V 2 T 2 displaystyle frac V 1 T 1 frac V 2 T 2 Gay Lussac tilskrev hans fund til Jacques Charles da han havde brugt meget af hans data fra 1787 Derfor blev loven kendt som Charles lov 1811 Avogadros lov Rediger Uddybende artikel Avogadros lov I 1811 forudsage den italienske kemiker Amedeo Avogadro efter grundige eksperimenter at der findes en sammenhaeng mellem en gas stofmaengde og volumen Dette formuleredes saledes Ens maengder idealgas bestar ved samme temperatur og tryk af lige mange partikler Med moderne nomenklatur formuleres loven ofte saledes Ved ens betingelser fylder et mol gas lige meget Loven ses ogsa formuleret saledes n V k displaystyle frac n V k Loven kan maske ses som blot endnu en sammenhaeng i raekken men den forte dog noget revolutionerende med sig set i lyset af de andre erkendelser Den sakaldte gaskonstant matte vaere ens for alle gasser idet folgende nu kunne udledes p 1 V 1 T 1 n 1 p 2 V 2 T 2 n 2 k displaystyle frac p 1 cdot V 1 T 1 cdot n 1 frac p 2 cdot V 2 T 2 cdot n 2 k Udledninger RedigerMan kan udlede idealgassen pa flere mader Empirisk udledning Rediger Ud fra de forskellige lovmaessigheder der opdagedes i perioden 1662 til 1811 kan idealgasloven udledes pa fire forskellige mader Oprindeligt blev den udledt fra Avogadros lov og Gay Lussacs lov I denne artikel udledes loven ved at betragte en gas under konstant stofmaenge og temperatur AEndringen i gassen fra tilstand 0 til 1 ma altsa folge Boyles lov p 0 V 0 p 1 V 1 displaystyle p 0 V 0 p 1 V 1 hvor T 0 T 1 displaystyle T 0 T 1 Gassen opvarmes nu under konstant volumen og stofmaengde for at ga fra tilstand 1 til tilstand 2 Her skal Gay Lussacs lov anvendes p 1 T 1 p 2 T 2 displaystyle frac p 1 T 1 frac p 2 T 2 hvor V 1 V 2 displaystyle V 1 V 2 Derfor ma relationen mellem tilstand 0 og tilstand 2 vaere p 0 V 0 p 2 T 1 T 2 V 1 p 0 V 0 T 0 p 2 V 2 T 2 displaystyle begin aligned p 0 V 0 amp frac p 2 T 1 T 2 V 1 frac p 0 V 0 T 0 amp frac p 2 V 2 T 2 end aligned For to beholdere med gas ved samme temperatur og samme tryk er det kun volumenet der vil aendre sig nar de to beholdere saettes sammen Jf Avogadros lov er stofmaengden dermed tilsvarende oget p V T k n displaystyle frac pV T kn hvor konstanten k displaystyle k er gaskonstanten R displaystyle R p V n R T displaystyle pV nRT Dermed er idealgasligningen udledt fra de empiriske love 4 Kinetisk gasteori Rediger Hovedartikel Kinetisk gasteori I dag kan loven dog ogsa udledes gennem den kinetiske gasteoris grundbegreber for en idealgas Dette kan gores stringent med udgangspunkt i Maxwell Boltzmann fordelingen der beskriver hastighedsfordeligen for partiklerne i en idealgas Det er dog ogsa muligt at lave en forsimplet men mere intuitiv udledning hvor fokus ligger pa en enkelt gaspartikel Forsimplet udledning Rediger En idealgas ifolge den kinetiske gasteori Hver gang en partikel stoder ind i en vaeg tilfores vaeggen en impuls der makroskopisk bidrager til trykket I den forsimplede udledning betragtes en partikel der bevaeger sig i en kasse og reflekteres af vaeggene uden at miste energi Den har altsa en konstant fart v displaystyle v Hver gang den rammer en vaeg er der desuden impulsbevarelse Hvis en vaeg ligger i x displaystyle x retningen og partiklens impulskomponent i x displaystyle x retning er P x displaystyle P x skal det gaelde at P x P w P x displaystyle P x P text w Px hvor P w displaystyle P text w er den tilforte impuls til vaeggen og minusset angiver at partiklen er blevet reflekteret og altsa bevaeger sig i den modsatte retning Den tilforte impuls pga et enkelt sammenstod er altsa P w 2 P x 2 m v x displaystyle P text w 2Px 2mv x hvor m displaystyle m er partiklens masse Hvis kassen i x displaystyle x retningen har laengden L displaystyle L skal partiklen rejse afstanden 2 L displaystyle 2L for at blive reflekteret tilbage til vaeggen Tiden D t displaystyle Delta t det tager er givet ved D t 2 L v x displaystyle Delta t frac 2L v x Den tilforte impuls pr tid hvilket er det samme som kraften F 1 displaystyle F 1 for en enkelt partikel er altsa F 1 d P d t P w D t 2 m v x 2 2 L m v x 2 L displaystyle F 1 frac dP dt frac P text w Delta t frac 2mv x 2 2L frac mv x 2 L Hvis vaeggen har et areal A displaystyle A er trykket p 1 F 1 A m v x 2 A L displaystyle p 1 frac F 1 A frac mv x 2 AL Da V A L displaystyle V AL for en kasse kan dette ogsa skrives som p 1 V m v x 2 displaystyle p 1 V mv x 2 Venstresiden ligner nu allerede den onskede idealgasligning For N displaystyle N partikler skal bidragene fra hver partikel laegges sammmen p V N m v x 2 displaystyle pV Nm langle v x 2 rangle hvor v x 2 displaystyle langle v x 2 rangle er gennemsnittet for partiklerne Da v 2 v x 2 v y 2 v z 2 displaystyle v 2 v x 2 v y 2 v z 2 og da partiklerne i gennemsnit bevaeger sig lige meget i alle retninger ma det gaelde at v 2 v x 2 v y 2 v z 2 3 v x 2 displaystyle langle v 2 rangle langle v x 2 rangle langle v y 2 rangle langle v z 2 rangle 3 langle v x 2 rangle og derfor v x 2 v 2 3 displaystyle langle v x 2 rangle frac langle v 2 rangle 3 Dette indsaettes og der ganges og divideres desuden med en halv p V N 2 2 m v 2 3 N 2 3 1 2 m v 2 displaystyle pV N frac 2 2 m frac langle v 2 rangle 3 N frac 2 3 frac 1 2 m langle v 2 rangle Det ses at den gennemsnitlige kinetiske energi star pa hojresiden p V N 2 3 E kin displaystyle pV N frac 2 3 langle E text kin rangle Ifolge Maxwell Boltzmann fordelingen er den kinetiske energi givet ved E kin 3 2 k B T displaystyle langle E text kin rangle frac 3 2 k text B T Det gaelder derfor at p V N 2 3 3 2 k B T N k B T displaystyle pV N frac 2 3 frac 3 2 k B T Nk text B T Dermed er temperaturen introduceret og idealgasligningen er udledt For at fa den vante form kan det anvendes at antallet af partikler blot er antallet af mol gange Avogadros tal N A displaystyle N text A p V n N A k B T displaystyle pV nN text A k text B T Det ses at gaskonstanten ma vaere givet ved R N A k B displaystyle R N text A k B Derved er idealgasligningen blevet helt udledt Kildehenvisninger Rediger Cengel Yunus A Boles Michael A Thermodynamics An Engineering Approach 4th udgave s 89 ISBN 0 07 238332 1 Vestergaard Erik Gaslovene PDF matematikfysik dk s 4 5 hentet 22 marts 2020 Vestergaard Erik Gaslovene PDF matematikfysik dk s 3 hentet 6 maj 2019 Vestergaard Erik Gaslovene PDF matematikfysik dk s 5 7 hentet 22 marts 2020 Hentet fra https da wikipedia org w index php title Idealgasligning amp oldid 10637329, wikipedia, wiki, bog, bøger, bibliotek,

artikel

, læs, download, gratis, gratis download, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, billede, musik, sang, film, bog, spil, spil.