fbpx
Wikipedia

Irrationale tal

Der er for få eller ingen kildehenvisninger i denne artikel, hvilket er et problem. Du kan hjælpe ved at angive troværdige kilder til de påstande, som fremføres i artiklen.

Irrationale tal er i matematikken alle tal der er reelle, men ikke rationale.

Irrationale tal

De klassiske eksempler er tallet π = 3,141 5926 {\displaystyle \pi =3{,}1415926\ldots } og kvadratroden af to som skrives 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} . Kvadratrod to er lig med 1,414 213562373095 {\displaystyle 1{,}414213562373095\ldots }

Et irrationalt tal kan være algebraisk eller transcendent. Et transcendent tal kan ikke være rod i et polynomium med rationale koefficienter – de øvrige irrationale tal kaldes algebraiske.

Hvis et tals decimaler er periodiske vil tallet være rationalt. Men at vise et tal der er irrationalt er straks vanskeligere.

Indholdsfortegnelse

Her følger et bevis på at kvadratrod 2 er et irrationalt tal.

Irrationaliteten bevises ved et modstridsbevis. Det antages, at der findes et rationalt tal r {\displaystyle r} , så r 2 = 2 {\displaystyle r^{2}=2} ; dvs. at der findes tal m {\displaystyle m} og n N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } r = m / n {\displaystyle r=m/n} (vi kan uden tab af almengyldighed antage, at r > 0 {\displaystyle r>0} , da ( r ) 2 = r 2 {\displaystyle (-r)^{2}=r^{2}} ). Herom kan antages, at brøken m / n {\displaystyle m/n} er uforkortelig. Det fås altså at: 2 = r 2 = ( m n ) 2 = m 2 n 2 {\displaystyle 2=r^{2}=\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}={\frac {m^{2}}{n^{2}}}} , hvilket vil sige at m 2 = 2 n 2 {\displaystyle m^{2}=2n^{2}} . Det vil sige at m 2 {\displaystyle m^{2}} er lige, og det følger, at m {\displaystyle m} også er lige. Det betyder, at der findes et helt tal m {\displaystyle m'} m = 2 m {\displaystyle m=2m'} . Indsat i ovenstående ligning fås at ( 2 m ) 2 = 2 n 2 {\displaystyle (2m')^{2}=2n^{2}} , altså 4 m 2 = 2 n 2 {\displaystyle 4m'^{2}=2n^{2}} og forkortet 2 m 2 = n 2 {\displaystyle 2m'^{2}=n^{2}} . På samme måde som før ses, at n {\displaystyle n} også må være lige. Da både m {\displaystyle m} og n {\displaystyle n} er lige, er brøken m / n {\displaystyle m/n} nødvendigvis forkortelig med 2, hvilket strider mod antagelsen.

Ogilvie Joseph Louis LaGrange har udtrykt et bevis for dette i en enkel sætning: "It ( 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ) cannot be found in fractions, for if you take a fraction reduced to its lowest terms, the square of that fraction will again be a fraction reduced to its lowest terms and consequently cannot be equal to the whole number 2."

Ved hjælp af et indirekte bevis kan det vises, at kvadratroden af 5 er et irrationalt tal. Man antager, at det er et rationalt tal, så det kan skrives som en uforkortelig brøk: 5 = p q {\displaystyle {\sqrt {5}}={\frac {p}{q}}} . Dette kan omskrives til: 5 q 2 = p 2 {\displaystyle 5\cdot q^{2}=p^{2}} . Brøken p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}} var antaget uforkortelig, det vil sige, at p og q's primfaktoropløsning ikke indeholder nogen fælles primtal. p 2 {\displaystyle p^{2}} og q 2 {\displaystyle q^{2}} vil derfor have et lige antal primfaktorer, da hvert primtal fra før vil forekomme to gange. Og her opstår modstriden: Ligningen 5 q 2 = p 2 {\displaystyle 5\cdot q^{2}=p^{2}} siger, at p 2 {\displaystyle p^{2}} har én primfaktor (5) mere end q 2 {\displaystyle q^{2}} , hvilket ikke kan passe, da de begge har et lige antal primfaktorer (jvf: Aritmetikkens fundamentalsætning). Hermed er det vist, at 5 {\displaystyle {\sqrt {5}}} er irrationalt. Dette bevis holder for alle primtal, hvilket betyder, at kvadratrødder af alle primtal er irrationale.

  1. Holth (1987) s. 21
Spire
Denne artikel om matematik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved atudvide den.

Irrationale tal
irrationale, sprog, overvåg, rediger, eller, ingen, kildehenvisninger, denne, artikel, hvilket, problem, hjælpe, angive, troværdige, kilder, påstande, fremføres, artiklen, matematikken, alle, reelle, ikke, rationale, klassiske, eksempler, tallet, 5926, display. Irrationale tal Sprog Overvag Rediger Der er for fa eller ingen kildehenvisninger i denne artikel hvilket er et problem Du kan hjaelpe ved at angive trovaerdige kilder til de pastande som fremfores i artiklen Irrationale tal er i matematikken alle tal der er reelle men ikke rationale Irrationale tal De klassiske eksempler er tallet p 3 141 5926 displaystyle pi 3 1415926 ldots og kvadratroden af to som skrives 2 displaystyle sqrt 2 Kvadratrod to er lig med 1 414 213562373095 displaystyle 1 414213562373095 ldots Et irrationalt tal kan vaere algebraisk eller transcendent Et transcendent tal kan ikke vaere rod i et polynomium med rationale koefficienter de ovrige irrationale tal kaldes algebraiske Hvis et tals decimaler er periodiske vil tallet vaere rationalt Men at vise et tal der er irrationalt er straks vanskeligere Indholdsfortegnelse 1 Irrationaliteten af kvadratrod 2 2 Irrationaliteten af kvadratrod 5 3 Bog 4 ReferencerIrrationaliteten af kvadratrod 2 RedigerHer folger et bevis pa at kvadratrod 2 er et irrationalt tal 1 Irrationaliteten bevises ved et modstridsbevis Det antages at der findes et rationalt tal r displaystyle r sa r 2 2 displaystyle r 2 2 dvs at der findes tal m displaystyle m og n N displaystyle n in mathbb N sa r m n displaystyle r m n vi kan uden tab af almengyldighed antage at r gt 0 displaystyle r gt 0 da r 2 r 2 displaystyle r 2 r 2 Herom kan antages at broken m n displaystyle m n er uforkortelig Det fas altsa at 2 r 2 m n 2 m 2 n 2 displaystyle 2 r 2 left frac m n right 2 frac m 2 n 2 hvilket vil sige at m 2 2 n 2 displaystyle m 2 2n 2 Det vil sige at m 2 displaystyle m 2 er lige og det folger at m displaystyle m ogsa er lige Det betyder at der findes et helt tal m displaystyle m sa m 2 m displaystyle m 2m Indsat i ovenstaende ligning fas at 2 m 2 2 n 2 displaystyle 2m 2 2n 2 altsa 4 m 2 2 n 2 displaystyle 4m 2 2n 2 og forkortet 2 m 2 n 2 displaystyle 2m 2 n 2 Pa samme made som for ses at n displaystyle n ogsa ma vaere lige Da bade m displaystyle m og n displaystyle n er lige er broken m n displaystyle m n nodvendigvis forkortelig med 2 hvilket strider mod antagelsen Ogilvie Joseph Louis LaGrange har udtrykt et bevis for dette i en enkel saetning It 2 displaystyle sqrt 2 cannot be found in fractions for if you take a fraction reduced to its lowest terms the square of that fraction will again be a fraction reduced to its lowest terms and consequently cannot be equal to the whole number 2 Irrationaliteten af kvadratrod 5 RedigerVed hjaelp af et indirekte bevis kan det vises at kvadratroden af 5 er et irrationalt tal 1 Man antager at det er et rationalt tal sa det kan skrives som en uforkortelig brok 5 p q displaystyle sqrt 5 frac p q Dette kan omskrives til 5 q 2 p 2 displaystyle 5 cdot q 2 p 2 Broken p q displaystyle frac p q var antaget uforkortelig det vil sige at p og q s primfaktoroplosning ikke indeholder nogen faelles primtal p 2 displaystyle p 2 og q 2 displaystyle q 2 vil derfor have et lige antal primfaktorer da hvert primtal fra for vil forekomme to gange Og her opstar modstriden Ligningen 5 q 2 p 2 displaystyle 5 cdot q 2 p 2 siger at p 2 displaystyle p 2 har en primfaktor 5 mere end q 2 displaystyle q 2 hvilket ikke kan passe da de begge har et lige antal primfaktorer jvf Aritmetikkens fundamentalsaetning Hermed er det vist at 5 displaystyle sqrt 5 er irrationalt Dette bevis holder for alle primtal hvilket betyder at kvadratrodder af alle primtal er irrationale Bog RedigerHolth Klaus m fl 1987 Matematik Grundbog 1 Forlaget Trip Vejle ISBN 87 88049 18 3Referencer Rediger a b Holth 1987 s 21 Spire Denne artikel om matematik er en spire som bor udbygges Du er velkommen til at hjaelpe Wikipedia ved at udvide den Hentet fra https da wikipedia org w index php title Irrationale tal amp oldid 10579283, wikipedia, wiki, bog, bøger, bibliotek,

artikel

, læs, download, gratis, gratis download, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, billede, musik, sang, film, bog, spil, spil.