Der er for få eller ingen kildehenvisninger i denne artikel, hvilket er et problem. Du kan hjælpe ved at angive troværdige kilder til de påstande, som fremføres i artiklen.

Irrationale tal er i matematikken alle tal der er reelle, men ikke rationale.

Her følger et bevis på at kvadratrod 2 er et irrationalt tal.

Irrationaliteten bevises ved et modstridsbevis. Det antages, at der findes et rationalt tal${\displaystyle r}$, så${\displaystyle r^{2}=2}$; dvs. at der findes tal${\displaystyle m}$ og${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ så${\displaystyle r=m/n}$ (vi kan uden tab af almengyldighed antage, at${\displaystyle r>0}$, da${\displaystyle (-r)^{2}=r^{2}}$). Herom kan antages, at brøken${\displaystyle m/n}$ er uforkortelig. Det fås altså at:${\displaystyle 2=r^{2}=\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}={\frac {m^{2}}{n^{2}}}}$, hvilket vil sige at${\displaystyle m^{2}=2n^{2}}$. Det vil sige at${\displaystyle m^{2}}$ er lige, og det følger, at${\displaystyle m}$ også er lige. Det betyder, at der findes et helt tal${\displaystyle m'}$ så${\displaystyle m=2m'}$. Indsat i ovenstående ligning fås at${\displaystyle (2m')^{2}=2n^{2}}$, altså${\displaystyle 4m'^{2}=2n^{2}}$ og forkortet${\displaystyle 2m'^{2}=n^{2}}$. På samme måde som før ses, at${\displaystyle n}$ også må være lige. Da både${\displaystyle m}$ og${\displaystyle n}$ er lige, er brøken${\displaystyle m/n}$ nødvendigvis forkortelig med 2, hvilket strider mod antagelsen.

Ogilvie Joseph Louis LaGrange har udtrykt et bevis for dette i en enkel sætning: "It (${\displaystyle {\sqrt {2}}}$) cannot be found in fractions, for if you take a fraction reduced to its lowest terms, the square of that fraction will again be a fraction reduced to its lowest terms and consequently cannot be equal to the whole number 2."

Ved hjælp af et indirekte bevis kan det vises, at kvadratroden af 5 er et irrationalt tal. Man antager, at det er et rationalt tal, så det kan skrives som en uforkortelig brøk:${\displaystyle {\sqrt {5}}={\frac {p}{q}}}$. Dette kan omskrives til:${\displaystyle 5\cdot q^{2}=p^{2}}$. Brøken${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ var antaget uforkortelig, det vil sige, at p og q's primfaktoropløsning ikke indeholder nogen fælles primtal.${\displaystyle p^{2}}$ og${\displaystyle q^{2}}$ vil derfor have et lige antal primfaktorer, da hvert primtal fra før vil forekomme to gange. Og her opstår modstriden: Ligningen${\displaystyle 5\cdot q^{2}=p^{2}}$ siger, at${\displaystyle p^{2}}$ har én primfaktor (5) mere end${\displaystyle q^{2}}$, hvilket ikke kan passe, da de begge har et lige antal primfaktorer (jvf: Aritmetikkens fundamentalsætning). Hermed er det vist, at${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ er irrationalt. Dette bevis holder for alle primtal, hvilket betyder, at kvadratrødder af alle primtal er irrationale.

• Holth, Klaus m.fl. (1987): Matematik Grundbog 1. Forlaget Trip, Vejle.ISBN 87-88049-18-3