fbpx
Wikipedia

Naturlig logaritme

Den naturlige logaritme, ln {\displaystyle \ln } er en af de vigtigste matematiske funktioner, og den har utallige teoretiske og praktiske anvendelser. Det er en trancendent funktion, hvilket vil sige at den ikke kan defineres ved hjælp af polynomier og roduddragning men er defineret ved hjælp af infinitisimalregning. Det er en logaritmefunktion med grundtallet e, e 2 , 718281828 {\displaystyle e\approx 2,718281828} , for hvilken der gælder at

Graf for den naturlige logaritme, y = ln ( x ) {\displaystyle y=\ln(x)} . Funktionen går mod minus uendelig når x {\displaystyle x} går mod nul. Funktionen går langsomt mod uendelig for x {\displaystyle x} gående mod uendelig.

ln ( e ) = 1 . {\displaystyle \ln(e)=1\,.}

Den naturlige logaritme er den inverse funktion af den naturlige eksponentialfunktion.

Til forskel fra andre logaritmer, der som oftest betegnes log a ( x ) {\displaystyle \log _{a}(x)} , hvor a repræsenterer grundtallet, bruger man hyppigst blot notationen ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)} for den naturlige logaritme. Mange steder i litteraturen benyttes dog, lidt misvisende, log ( x ) {\displaystyle \log(x)} til at betegne den naturlige logaritme.

Siden man begyndte at bruge lommeregnere og computere til at foretage beregninger, er man i mange tilfælde gået over til at anvende naturlige logarimer i stedet for 10-talslogaritmer.

Indholdsfortegnelse

Den naturlige logaritme i punktet a > 0 {\displaystyle a>0} er defineret som integralet af funktionen 1 / x {\displaystyle 1/x} fra 1 til a {\displaystyle a}

ln ( a ) 1 a 1 x d x {\displaystyle \ln(a)\equiv \int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,{\rm {d}}x} .
Definitionen på den naturlige logaritme af a {\displaystyle a} , givet ved arealet under 1 / x {\displaystyle 1/x} , fra 1 {\displaystyle 1} til a {\displaystyle a} . For a = e {\displaystyle a=e} er arealet eksakt 1 {\displaystyle 1} .

Ud fra definitionen af naturlig logaritme kan man bevise følgende logaritmeregler:

ln ( a b ) = ln ( a ) + ln ( b ) for a , b > 0 , {\displaystyle \ln \left(a\cdot b\right)=\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right){\mbox{ for }}a,b>0,}
ln ( a b ) = ln ( a ) ln ( b ) , {\displaystyle \ln \left({a \over b}\right)=\ln \left(a)-\ln(b\right),}
ln ( a x ) = x ln ( a ) . {\displaystyle \ln {\left(a^{x}\right)}=x\cdot \ln {(a)}.}

Den første af disse logaritmeregler kan vises ved at benytte substitutionen t = x a {\displaystyle t={\dfrac {x}{a}}} som vist her

ln ( a b ) {\displaystyle \ln \left(a\cdot b\right)} = 1 a b 1 x d x {\displaystyle =\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\,{\rm {d}}x}
= 1 a 1 x d x + a a b 1 x d x {\displaystyle =\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,{\rm {d}}x+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\,{\rm {d}}x}
= 1 a 1 x d x + 1 b 1 t d t {\displaystyle =\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,{\rm {d}}x+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\,{\rm {d}}t}
= ln ( a ) + ln ( b ) . {\displaystyle =\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)\,.}

De øvrige regneregler kan vises på lignende måde ud fra definitionen. Derudover gælder følgende regneregler:

ln ( a b ) = ln ( b a ) , {\displaystyle \ln \left({a \over b}\right)=-\ln \left({b \over a}\right),}
e ln ( a ) = a . {\displaystyle {\rm {e}}^{\ln {\left(a\right)}}=a\,.}

Differentialkvotienten af ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)} er givet ved følgende:

d d x ( ln ( x ) ) = 1 x , {\displaystyle {{\rm {d}} \over {\rm {d}}x}\left(\ln(x)\right)={1 \over x}\,,}

hvilket følger umiddelbart af definitionen.

Det ubestemte integral af ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)} er givet ved

( ln ( x ) ) d x = x ( ln ( x ) 1 ) + c . {\displaystyle \int {\left(\ln(x)\right){\textrm {d}}x}=x\left(\ln \left(x\right)-1\right)+c\,.}
Illustration af hvorledes rækken k = 1 n ( 1 ) ( k 1 ) ( x 1 ) k k {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(-1)^{(k-1)}{\frac {(x-1)^{k}}{k}}} konvergerer mod ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)} for 0 < x 2 {\displaystyle 0<x\leq 2} for et stigende antal led n {\displaystyle n} i rækken.

Maclaurinrækken for funktionen ln ( 1 + x ) {\displaystyle \ln(1+x)} kaldes Mercators række og er givet ved

ln ( 1 + x ) = x 1 2 x 2 + 1 3 x 3 1 4 x 4 + = n = 1 ( 1 ) ( n 1 ) x n n for 1 < x 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left(1+x\right)&=x-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{4}}x^{4}+\cdots \\&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{(n-1)}{\frac {x^{n}}{n}}\qquad {\text{ for }}-1<x\leq 1\end{aligned}}}

Foretages substitutionen x x 1 {\displaystyle x\rightarrow x-1} , finder man følgende rækkerepræsentation for den naturlige logaritme:

ln ( x ) = ( x 1 ) 1 2 ( x 1 ) 2 + 1 3 ( x 1 ) 3 1 4 ( x 1 ) 4 + = n = 1 ( 1 ) ( n 1 ) ( x 1 ) n n for 0 < x 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left(x\right)&=(x-1)-{\frac {1}{2}}(x-1)^{2}+{\frac {1}{3}}(x-1)^{3}-{\frac {1}{4}}(x-1)^{4}+\cdots \\&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{(n-1)}{\frac {(x-1)^{n}}{n}}\qquad {\text{ for }}0<x\leq 2\end{aligned}}}

Denne række, er den simpleste rækkerepræsentation for den naturlige logaritme, men den konvergerer kun forholdsvis langsomt og er altså kun gyldigt i et mindre værdiområde.

Ved at kombinere Mercators række med de basale regneregler for den naturlige logaritme kan man fremkomme med andre interessante rækkerepræsentationer. Foretager man f.eks. substitutionen x x {\displaystyle x\rightarrow -x} skifter fortegnet på alle de ulige led i Mercators rækken

ln ( 1 x ) = ( x ) 1 2 ( x ) 2 + 1 3 ( x ) 3 1 4 ( x ) 4 + = x 1 2 x 2 1 3 x 3 1 4 x 4 + , for 1 x < 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left(1-x\right)&=(-x)-{\frac {1}{2}}(-x)^{2}+{\frac {1}{3}}(-x)^{3}-{\frac {1}{4}}(-x)^{4}+\cdots \\&=-x-{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{4}}x^{4}+\cdots ,\quad {\text{ for }}-1\leq x<1\end{aligned}}}

Ved hjælp af rækkerepræsentationerne for ln ( 1 + x ) {\displaystyle \ln \left(1+x\right)} og ln ( 1 x ) {\displaystyle \ln \left(1-x\right)} findes da

ln ( 1 + x 1 x ) = ln ( 1 + x ) ln ( 1 x ) = 2 x + 2 3 x 3 + 2 5 x 5 + = n = 0 2 2 n + 1 x 2 n + 1 for | x | < 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)&=\ln \left(1+x\right)-\ln \left(1-x\right)\\&=2x+{\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {2}{5}}x^{5}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{2n+1}}x^{2n+1}{\mbox{ for }}|x|<1\\\end{aligned}}}

Dette er en interessant række, idet argumentet ( 1 + x ) / ( 1 x ) {\displaystyle (1+x)/(1-x)} antager alle mulige positive reelle værdier for | x | < 1 {\displaystyle |x|<1} . Dette kan benyttes til at udlede en generel rækkerepræsentation for ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)} gældende for hele funktionens værdiområde. Hvis vi definerer

t = x 1 x + 1 {\displaystyle t={\frac {x-1}{x+1}}}
Illustration af hvorledes rækken k = 0 n 2 2 k + 1 ( x 1 x + 1 ) 2 k + 1 {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {2}{2k+1}}\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)^{2k+1}} konvergerer mod ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)} for et stigende antal led n {\displaystyle n} i rækken.

kan vi udtrykke x ( t ) {\displaystyle x(t)} som

x = 1 + t 1 t . {\displaystyle x={\frac {1+t}{1-t}}\,.}

Derved findes følgende rækkerepræsentation for den naturlige logaritme

ln ( x ) = ln ( 1 + t 1 t ) = 2 t + 2 3 t 3 + 2 5 t 5 + = 2 x 1 x + 1 + 2 3 ( x 1 x + 1 ) 3 + 2 5 ( x 1 x + 1 ) 5 + = n = 0 2 2 n + 1 ( x 1 x + 1 ) 2 n + 1 for x > 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left(x\right)&=\ln \left({\frac {1+t}{1-t}}\right)\\&=2t+{\frac {2}{3}}t^{3}+{\frac {2}{5}}t^{5}+\cdots \\&=2\cdot {\frac {x-1}{x+1}}+{\frac {2}{3}}\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)^{3}+{\frac {2}{5}}\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)^{5}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{2n+1}}\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)^{2n+1}\quad {\text{ for }}x>0\end{aligned}}}

som altså er gældende for alle positive reelle tal. Rækken konvergerer hurtigst for værdier omkring x = 1 {\displaystyle x=1} , som vist i figuren.

Af definitionen på den naturlige logaritme fremgår det at

ln ( 1 ) = 0 . {\displaystyle \ln \left(1\right)=0\,.}

Indsættes x = 1 {\displaystyle x=1} i Maclaurin rækken for ln ( 1 + x ) {\displaystyle \ln(1+x)} fremkommer den alternerende harmoniske række

ln ( 2 ) {\displaystyle \ln \left(2\right)} = n = 1 ( 1 ) ( n 1 ) 1 n {\displaystyle =\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{(n-1)}{\frac {1}{n}}}
= 1 1 2 + 1 3 1 4 + {\displaystyle =1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots }
0.69314718055994530941723212145818 {\displaystyle \simeq 0.69314718055994530941723212145818\ldots }

Logaritmefunktionen med grundtal a er relateret til den naturlige eksponentialfunktion ved ligningen

log a ( x ) = ln ( x ) ln ( a ) . {\displaystyle {\log }_{a}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(a)}}.}

Denne ligning kan bruges til at definere de øvrige logaritmefunktioner ud fra den naturlige logaritmefunktion og regnereglerne for for de øvrige logaritmefunktioner følger også umiddelbart ud fra denne ligning. Tilsvarende gælder at

ln ( x ) = log a ( x ) log a ( e ) . {\displaystyle \ln(x)={\frac {{\log }_{a}(x)}{{\log }_{a}({\rm {e}})}}.}

Den naturlige logaritmefunktion skiller sig ud blandt logaritmefunktionerne ved at den er simplere at differentiere og integrere.

Naturlig logaritme
naturlig, logaritme, sprog, overvåg, rediger, naturlige, logaritme, displaystyle, vigtigste, matematiske, funktioner, utallige, teoretiske, praktiske, anvendelser, trancendent, funktion, hvilket, sige, ikke, defineres, hjælp, polynomier, roduddragning, definer. Naturlig logaritme Sprog Overvag Rediger Den naturlige logaritme ln displaystyle ln er en af de vigtigste matematiske funktioner og den har utallige teoretiske og praktiske anvendelser Det er en trancendent funktion hvilket vil sige at den ikke kan defineres ved hjaelp af polynomier og roduddragning men er defineret ved hjaelp af infinitisimalregning Det er en logaritmefunktion med grundtallet e e 2 718281828 displaystyle e approx 2 718281828 for hvilken der gaelder atGraf for den naturlige logaritme y ln x displaystyle y ln x Funktionen gar mod minus uendelig nar x displaystyle x gar mod nul Funktionen gar langsomt mod uendelig for x displaystyle x gaende mod uendelig ln e 1 displaystyle ln e 1 Den naturlige logaritme er den inverse funktion af den naturlige eksponentialfunktion Til forskel fra andre logaritmer der som oftest betegnes log a x displaystyle log a x hvor a repraesenterer grundtallet bruger man hyppigst blot notationen ln x displaystyle ln x for den naturlige logaritme Mange steder i litteraturen benyttes dog lidt misvisende log x displaystyle log x til at betegne den naturlige logaritme Siden man begyndte at bruge lommeregnere og computere til at foretage beregninger er man i mange tilfaelde gaet over til at anvende naturlige logarimer i stedet for 10 talslogaritmer Indholdsfortegnelse 1 Definition 2 Regneregler 3 Differentiation og integration 4 Raekkerepraesentationer 5 Specielle vaerdier 6 Relation til andre logaritmefunktionerDefinition RedigerDen naturlige logaritme i punktet a gt 0 displaystyle a gt 0 er defineret som integralet af funktionen 1 x displaystyle 1 x fra 1 til a displaystyle a ln a 1 a 1 x d x displaystyle ln a equiv int 1 a frac 1 x rm d x Definitionen pa den naturlige logaritme af a displaystyle a givet ved arealet under 1 x displaystyle 1 x fra 1 displaystyle 1 til a displaystyle a For a e displaystyle a e er arealet eksakt 1 displaystyle 1 Regneregler RedigerUd fra definitionen af naturlig logaritme kan man bevise folgende logaritmeregler ln a b ln a ln b for a b gt 0 displaystyle ln left a cdot b right ln left a right ln left b right mbox for a b gt 0 ln a b ln a ln b displaystyle ln left a over b right ln left a ln b right ln a x x ln a displaystyle ln left a x right x cdot ln a Den forste af disse logaritmeregler kan vises ved at benytte substitutionen t x a displaystyle t dfrac x a som vist her ln a b displaystyle ln left a cdot b right 1 a b 1 x d x displaystyle int 1 ab frac 1 x rm d x 1 a 1 x d x a a b 1 x d x displaystyle int 1 a frac 1 x rm d x int a ab frac 1 x rm d x 1 a 1 x d x 1 b 1 t d t displaystyle int 1 a frac 1 x rm d x int 1 b frac 1 t rm d t ln a ln b displaystyle ln left a right ln left b right De ovrige regneregler kan vises pa lignende made ud fra definitionen Derudover gaelder folgende regneregler ln a b ln b a displaystyle ln left a over b right ln left b over a right e ln a a displaystyle rm e ln left a right a Differentiation og integration RedigerDifferentialkvotienten af ln x displaystyle ln x er givet ved folgende d d x ln x 1 x displaystyle rm d over rm d x left ln x right 1 over x hvilket folger umiddelbart af definitionen Det ubestemte integral af ln x displaystyle ln x er givet ved ln x d x x ln x 1 c displaystyle int left ln x right textrm d x x left ln left x right 1 right c Raekkerepraesentationer Rediger Illustration af hvorledes raekken k 1 n 1 k 1 x 1 k k displaystyle sum k 1 n 1 k 1 frac x 1 k k konvergerer mod ln x displaystyle ln x for 0 lt x 2 displaystyle 0 lt x leq 2 for et stigende antal led n displaystyle n i raekken Maclaurinraekken for funktionen ln 1 x displaystyle ln 1 x kaldes Mercators raekke og er givet ved ln 1 x x 1 2 x 2 1 3 x 3 1 4 x 4 n 1 1 n 1 x n n for 1 lt x 1 displaystyle begin aligned ln left 1 x right amp x frac 1 2 x 2 frac 1 3 x 3 frac 1 4 x 4 cdots amp sum n 1 infty 1 n 1 frac x n n qquad text for 1 lt x leq 1 end aligned Foretages substitutionen x x 1 displaystyle x rightarrow x 1 finder man folgende raekkerepraesentation for den naturlige logaritme ln x x 1 1 2 x 1 2 1 3 x 1 3 1 4 x 1 4 n 1 1 n 1 x 1 n n for 0 lt x 2 displaystyle begin aligned ln left x right amp x 1 frac 1 2 x 1 2 frac 1 3 x 1 3 frac 1 4 x 1 4 cdots amp sum n 1 infty 1 n 1 frac x 1 n n qquad text for 0 lt x leq 2 end aligned Denne raekke er den simpleste raekkerepraesentation for den naturlige logaritme men den konvergerer kun forholdsvis langsomt og er altsa kun gyldigt i et mindre vaerdiomrade Ved at kombinere Mercators raekke med de basale regneregler for den naturlige logaritme kan man fremkomme med andre interessante raekkerepraesentationer Foretager man f eks substitutionen x x displaystyle x rightarrow x skifter fortegnet pa alle de ulige led i Mercators raekken ln 1 x x 1 2 x 2 1 3 x 3 1 4 x 4 x 1 2 x 2 1 3 x 3 1 4 x 4 for 1 x lt 1 displaystyle begin aligned ln left 1 x right amp x frac 1 2 x 2 frac 1 3 x 3 frac 1 4 x 4 cdots amp x frac 1 2 x 2 frac 1 3 x 3 frac 1 4 x 4 cdots quad text for 1 leq x lt 1 end aligned Ved hjaelp af raekkerepraesentationerne for ln 1 x displaystyle ln left 1 x right og ln 1 x displaystyle ln left 1 x right findes da ln 1 x 1 x ln 1 x ln 1 x 2 x 2 3 x 3 2 5 x 5 n 0 2 2 n 1 x 2 n 1 for x lt 1 displaystyle begin aligned ln left frac 1 x 1 x right amp ln left 1 x right ln left 1 x right amp 2x frac 2 3 x 3 frac 2 5 x 5 cdots amp sum n 0 infty frac 2 2n 1 x 2n 1 mbox for x lt 1 end aligned Dette er en interessant raekke idet argumentet 1 x 1 x displaystyle 1 x 1 x antager alle mulige positive reelle vaerdier for x lt 1 displaystyle x lt 1 Dette kan benyttes til at udlede en generel raekkerepraesentation for ln x displaystyle ln x gaeldende for hele funktionens vaerdiomrade Hvis vi definerer t x 1 x 1 displaystyle t frac x 1 x 1 Illustration af hvorledes raekken k 0 n 2 2 k 1 x 1 x 1 2 k 1 displaystyle sum k 0 n frac 2 2k 1 left frac x 1 x 1 right 2k 1 konvergerer mod ln x displaystyle ln x for et stigende antal led n displaystyle n i raekken kan vi udtrykke x t displaystyle x t som x 1 t 1 t displaystyle x frac 1 t 1 t Derved findes folgende raekkerepraesentation for den naturlige logaritme ln x ln 1 t 1 t 2 t 2 3 t 3 2 5 t 5 2 x 1 x 1 2 3 x 1 x 1 3 2 5 x 1 x 1 5 n 0 2 2 n 1 x 1 x 1 2 n 1 for x gt 0 displaystyle begin aligned ln left x right amp ln left frac 1 t 1 t right amp 2t frac 2 3 t 3 frac 2 5 t 5 cdots amp 2 cdot frac x 1 x 1 frac 2 3 left frac x 1 x 1 right 3 frac 2 5 left frac x 1 x 1 right 5 cdots amp sum n 0 infty frac 2 2n 1 left frac x 1 x 1 right 2n 1 quad text for x gt 0 end aligned som altsa er gaeldende for alle positive reelle tal Raekken konvergerer hurtigst for vaerdier omkring x 1 displaystyle x 1 som vist i figuren Specielle vaerdier RedigerAf definitionen pa den naturlige logaritme fremgar det at ln 1 0 displaystyle ln left 1 right 0 Indsaettes x 1 displaystyle x 1 i Maclaurin raekken for ln 1 x displaystyle ln 1 x fremkommer den alternerende harmoniske raekke ln 2 displaystyle ln left 2 right n 1 1 n 1 1 n displaystyle sum n 1 infty 1 n 1 frac 1 n 1 1 2 1 3 1 4 displaystyle 1 frac 1 2 frac 1 3 frac 1 4 cdots 0 69314718055994530941723212145818 displaystyle simeq 0 69314718055994530941723212145818 ldots Relation til andre logaritmefunktioner RedigerLogaritmefunktionen med grundtal a er relateret til den naturlige eksponentialfunktion ved ligningen log a x ln x ln a displaystyle log a x frac ln x ln a Denne ligning kan bruges til at definere de ovrige logaritmefunktioner ud fra den naturlige logaritmefunktion og regnereglerne for for de ovrige logaritmefunktioner folger ogsa umiddelbart ud fra denne ligning Tilsvarende gaelder at ln x log a x log a e displaystyle ln x frac log a x log a rm e Den naturlige logaritmefunktion skiller sig ud blandt logaritmefunktionerne ved at den er simplere at differentiere og integrere Hentet fra https da wikipedia org w index php title Naturlig logaritme amp oldid 10520418, wikipedia, wiki, bog, bøger, bibliotek,

artikel

, læs, download, gratis, gratis download, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, billede, musik, sang, film, bog, spil, spil.