fbpx
Wikipedia

Potens (matematik)

For alternative betydninger, se Potens. (Se også artikler, som begynder med Potens)

Indenfor matematik er potens, eller potensopløftning en regneoperation på linje med addition, subtraktion, multiplikation og division. Der findes to forskellige definitioner på hvordan en potensopløftning udføres, og ifølge den enkleste af disse er en potens produktet af det samme tal, x {\displaystyle x} , gentaget y {\displaystyle y} gange, altså:

x y = x x x x gentaget y gange {\displaystyle {\begin{matrix}x^{y}=\underbrace {x\cdot x\cdot \ldots \cdot x} \\x{\mbox{ gentaget }}y{\mbox{ gange}}\end{matrix}}}

hvor x {\displaystyle x} omtales som roden, basen eller grundtallet, og y {\displaystyle y} kaldes for potenseksponenten eller bare eksponenten.

Indholdsfortegnelse

Skrivemåden x y {\displaystyle x^{y}} læses som x {\displaystyle x} i y {\displaystyle y} 'ende potens, dvs. grundtallet x {\displaystyle x} siges som et mængdetal, mens eksponenten y {\displaystyle y} siges som et ordenstal. For eksempel:

  • 74 læses Syv i fjerde potens (eller blot Syv i fjerde), og det beregenes som 7·7·7·7 = 2401.
  • 23 læses To i tredje potens, eller To i tredje, og beregnes sådan her: 2·2·2 = 8.
  • 210 læses Enogtyve i nulte potens og er lig med 1. Dette kan f.eks. udledes som 211*21-1= 21 21 {\displaystyle {\frac {21}{21}}} =1.
  • 33 = 3·3·3 = 27
  • 43 = 4·4·4 = 64
  • 53 = 5·5·5 = 125
  • 63 = 6·6·6 = 216
  • 73 = 7·7·7 = 343
  • 83 = 8·8·8 = 512
  • 93 = 9·9·9 = 729
  • 113 = 11·11·11 = 1331
  • 123 = 12·12·12 = 1728

computere bruger man i visse situationer en lidt anden skrivemåde, fordi skrivemåden med eksponenten i superscript ("hævet tekst") er utilgængelig eller besværlig at bruge: I f.eks. programmeringssprog og regneark skrives regneoperationen x y {\displaystyle x^{y}} som x^y, x↑y eller x**y.

Der findes to forskellige definitioner på hvordan man beregner x y {\displaystyle x^{y}} : Den definition der er nævnt i indledningen gælder i sig selv kun for en positiv heltallig eksponent y {\displaystyle y} , men den kan "udbygges" til at gælde for alle heltallige eksponenter, inklusiv 0 og negative tal, og den gælder for ethvert reelt grundtal x {\displaystyle x} .

Den anden metode involverer den naturlige eksponentialfunktion og den naturlige logaritme, som infinitesimalregningen fastlægger en definition på: Den gør det muligt at beregne en potens x y {\displaystyle x^{y}} hvor grundtallet x {\displaystyle x} kan være ethvert positivt reelt tal, og eksponenten y {\displaystyle y} ethvert reelt tal. Til gengæld slår denne metode fejl hvis man prøver at bruge den i situationer hvor grundtallet x {\displaystyle x} er et negativt tal.

Tilsammen fastlægger disse to definitioner hvordan man beregner x y {\displaystyle x^{y}} så længe enten grundtallet x {\displaystyle x} ikke er negativt, eller eksponenten y {\displaystyle y} er et helt tal.

Potenser med heltallige eksponenter

Så længe eksponenten er et positivt heltal, gælder den beskrivelse der er nævnt i indledningen, og denne regneoperation kan man udføre på enhver værdi af roden x {\displaystyle x} . Hvis x {\displaystyle x} er negativ, gælder i øvrigt, at når eksponenten y {\displaystyle y} er lige, bliver x y {\displaystyle x^{y}} et positivt tal, mens ulige rodeksponenter giver et negativt tal.

Hvis man multiplicerer ("ganger") et tal med 1, får man tallet selv: Man kan altså uden videre skrive definitionen fra indledningen om til

x y = 1 x x x x gentaget y gange {\displaystyle {\begin{matrix}x^{y}=1\cdot \underbrace {x\cdot x\cdot \ldots \cdot x} \\x{\mbox{ gentaget }}y{\mbox{ gange}}\end{matrix}}}

Nu giver det mening at tale om potenser med eksponenten y = 0 {\displaystyle y=0} ; hvis man undlader at multiplicere med x {\displaystyle x} (eller: "gør det nul gange"), er blot éttallet tilbage. Deraf følger, at

x 0 = 1 {\displaystyle x^{0}=1} for alle værdier af x {\displaystyle x} . Dog er der uenighed om hvad 0 0 {\displaystyle 0^{0}} er. Nogle anvender 0 0 = 1 {\displaystyle 0^{0}=1} - andre 0 0 = {\displaystyle 0^{0}=} NaN.

Når man beregner x y = x x x {\displaystyle x^{y}=x\cdot x\cdot \ldots \cdot x} , får man mellemresultater der er stigende eksponenter af x {\displaystyle x} for hver gang man multiplicerer med x {\displaystyle x} . Omvendt kan man "fortryde" en multiplikation med x {\displaystyle x} ved at dividere med x {\displaystyle x} og derved reducere mellemresultatets potenseksponent med 1. Denne "fortrydelsesret" kan udnyttes til at udvide definitionen til også at omfatte negative heltal:

x y = 1 x x x x gentaget y gange {\displaystyle x^{-y}={\frac {1}{\begin{matrix}\underbrace {x\cdot x\cdot \ldots \cdot x} \\x{\mbox{ gentaget }}y{\mbox{ gange}}\end{matrix}}}}

Potenser med reelle eksponenter

Ved hjælp af infinitesimalregning kan man definere den naturlige eksponentialfunktion, e y {\displaystyle {\rm {e}}^{y}} og den naturlige logaritmefunktion ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)} . Ved hjælp af disse to funktioner kan man definere potensen x y {\displaystyle x^{y}} for ethvert positivt, reelt grundtal x {\displaystyle x} og enhver reel eksponent y {\displaystyle y} :

x y = e y ln ( x ) {\displaystyle x^{y}={\rm {e}}^{y\cdot \ln(x)}}

Bemærk, at den naturlige logaritme og eksponentialfunktion ikke kan beregnes eksakt ved hjælp af polynomier og rodtegn. Computere og lommeregnere bruger Taylorpolynomier og andre numeriske metoder til at udregne tilnærmede funktionsværdier af disse funktioner.

Af definitionerne kan man udlede de 5 potensregler, som bl.a. kan bruges ved løsning af ligninger. Som udgangspunkt gælder potensreglerne kun for positive grundtal.

  1. x a x b = x a + b {\displaystyle x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}}
  2. x a x b = x a b {\displaystyle {\frac {x^{a}}{x^{b}}}=x^{a-b}}
  3. x a y a = ( x y ) a {\displaystyle x^{a}\cdot y^{a}=(x\cdot y)^{a}}
  4. x a y a = ( x y ) a {\displaystyle {\frac {x^{a}}{y^{a}}}=\left({\frac {x}{y}}\right)^{a}}
  5. ( x y ) z = x ( y z ) {\displaystyle (x^{y})^{z}=x^{(y\cdot z)}}

Ud over de 5 potensregler gælder der et antal regler i forbindelse med logaritme og rod.

Logaritmen til en potens kan skrives som produktet af eksponenten og logaritmen til grundtallet i potensen. Dette gælder helt uanset logaritmens grundtal:

  • log ( x y ) = y log x {\displaystyle \log(x^{y})=y\cdot \log x}

Kvadratroden, kubikroden og mere generelt "den n'te rod" af et tal kan beskrives som potensopløftninger, idet

  • x m n = x m n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{x^{m}}}=x^{\frac {m}{n}}}
  • x = x 1 2 {\displaystyle {\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}}
  • x 2 3 = x 2 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{x^{2}}}=x^{\frac {2}{3}}}
  • x 3 = x 1 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}=x^{\frac {1}{3}}}

Sammenlignet med plus og gange er potens et overhead-system af gange, som igen er et overhead-system af plus. Gange fungerer ved at lægge det samme tal til et bestemt antal gange og potens fungerer ved at gange et tal et bestemt antal gange med sig selv.

F.eks.:
44 = 4 x 4 x 4 x 4
4 x 4 x 4 x 4 = ((4 + 4 + 4 + 4) + (4 + 4 + 4 + 4) + (4 + 4 + 4 + 4) + (4 + 4 + 4 + 4)) + ((4 + 4 + 4 + 4) + (4 + 4 + 4 + 4) + (4 + 4 + 4 + 4) + (4 + 4 + 4 + 4)) + ((4 + 4 + 4 + 4) + (4 + 4 + 4 + 4) + (4 + 4 + 4 + 4) + (4 + 4 + 4 + 4)) + ((4 + 4 + 4 + 4) + (4 + 4 + 4 + 4) + (4 + 4 + 4 + 4) + (4 + 4 + 4 + 4))

Resultat: 256
Rå mængde:
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Med de matematiske regneteknikker og systemer bliver det væsentligt mindre hukommelseskrævende at løse større regnestykker, når det først er indlært.

Potens (matematik)
potens, matematik, sprog, overvåg, rediger, alternative, betydninger, potens, også, artikler, begynder, potens, indenfor, matematik, potens, eller, potensopløftning, regneoperation, linje, addition, subtraktion, multiplikation, division, findes, forskellige, d. Potens matematik Sprog Overvag Rediger For alternative betydninger se Potens Se ogsa artikler som begynder med Potens Indenfor matematik er potens eller potensoploftning en regneoperation pa linje med addition subtraktion multiplikation og division Der findes to forskellige definitioner pa hvordan en potensoploftning udfores og ifolge den enkleste af disse er en potens produktet af det samme tal x displaystyle x gentaget y displaystyle y gange altsa x y x x x x gentaget y gange displaystyle begin matrix x y underbrace x cdot x cdot ldots cdot x x mbox gentaget y mbox gange end matrix hvor x displaystyle x omtales som roden basen eller grundtallet og y displaystyle y kaldes for potenseksponenten eller bare eksponenten Indholdsfortegnelse 1 Notation 2 Matematisk definition 2 1 Potenser med heltallige eksponenter 2 2 Potenser med reelle eksponenter 3 Regneregler for potenser 4 Sammenligning med plus og gange 5 Se ogsa 6 Kilder referencerNotation RedigerSkrivemaden x y displaystyle x y laeses som x displaystyle x iy displaystyle y ende potens dvs grundtallet x displaystyle x siges som et maengdetal mens eksponenten y displaystyle y siges som et ordenstal For eksempel 74 laeses Syv i fjerde potens eller blot Syv i fjerde og det beregenes som 7 7 7 7 2401 23 laeses To i tredje potens eller To i tredje og beregnes sadan her 2 2 2 8 210 laeses Enogtyve i nulte potens og er lig med 1 Dette kan f eks udledes som 211 21 1 21 21 displaystyle frac 21 21 1 33 3 3 3 27 43 4 4 4 64 53 5 5 5 125 63 6 6 6 216 73 7 7 7 343 83 8 8 8 512 93 9 9 9 729 113 11 11 11 1331 123 12 12 12 1728 Pa computere bruger man i visse situationer en lidt anden skrivemade fordi skrivemaden med eksponenten i superscript haevet tekst er utilgaengelig eller besvaerlig at bruge I f eks programmeringssprog og regneark skrives regneoperationen x y displaystyle x y som x y x y eller x y Matematisk definition RedigerDer findes to forskellige definitioner pa hvordan man beregner x y displaystyle x y Den definition der er naevnt i indledningen gaelder i sig selv kun for en positiv heltallig eksponent y displaystyle y men den kan udbygges til at gaelde for alle heltallige eksponenter inklusiv 0 og negative tal og den gaelder for ethvert reelt grundtal x displaystyle x Den anden metode involverer den naturlige eksponentialfunktion og den naturlige logaritme som infinitesimalregningen fastlaegger en definition pa Den gor det muligt at beregne en potens x y displaystyle x y hvor grundtallet x displaystyle x kan vaere ethvert positivt reelt tal og eksponenten y displaystyle y ethvert reelt tal Til gengaeld slar denne metode fejl hvis man prover at bruge den i situationer hvor grundtallet x displaystyle x er et negativt tal Tilsammen fastlaegger disse to definitioner hvordan man beregner x y displaystyle x y sa laenge enten grundtallet x displaystyle x ikke er negativt eller eksponenten y displaystyle y er et helt tal Potenser med heltallige eksponenter Rediger Sa laenge eksponenten er et positivt heltal gaelder den beskrivelse der er naevnt i indledningen og denne regneoperation kan man udfore pa enhver vaerdi af roden x displaystyle x Hvis x displaystyle x er negativ gaelder i ovrigt at nar eksponenten y displaystyle y er lige bliver x y displaystyle x y et positivt tal mens ulige rodeksponenter giver et negativt tal Hvis man multiplicerer ganger et tal med 1 far man tallet selv Man kan altsa uden videre skrive definitionen fra indledningen om til x y 1 x x x x gentaget y gange displaystyle begin matrix x y 1 cdot underbrace x cdot x cdot ldots cdot x x mbox gentaget y mbox gange end matrix Nu giver det mening at tale om potenser med eksponenten y 0 displaystyle y 0 hvis man undlader at multiplicere med x displaystyle x eller gor det nul gange er blot ettallet tilbage Deraf folger at x 0 1 displaystyle x 0 1 for alle vaerdier af x displaystyle x Dog er der uenighed om hvad 0 0 displaystyle 0 0 er Nogle anvender 0 0 1 displaystyle 0 0 1 andre 0 0 displaystyle 0 0 NaN 1 Nar man beregner x y x x x displaystyle x y x cdot x cdot ldots cdot x far man mellemresultater der er stigende eksponenter af x displaystyle x for hver gang man multiplicerer med x displaystyle x Omvendt kan man fortryde en multiplikation med x displaystyle x ved at dividere med x displaystyle x og derved reducere mellemresultatets potenseksponent med 1 Denne fortrydelsesret kan udnyttes til at udvide definitionen til ogsa at omfatte negative heltal x y 1 x x x x gentaget y gange displaystyle x y frac 1 begin matrix underbrace x cdot x cdot ldots cdot x x mbox gentaget y mbox gange end matrix Potenser med reelle eksponenter Rediger Ved hjaelp af infinitesimalregning kan man definere den naturlige eksponentialfunktion e y displaystyle rm e y og den naturlige logaritmefunktion ln x displaystyle ln x Ved hjaelp af disse to funktioner kan man definere potensen x y displaystyle x y for ethvert positivt reelt grundtal x displaystyle x og enhver reel eksponent y displaystyle y x y e y ln x displaystyle x y rm e y cdot ln x Bemaerk at den naturlige logaritme og eksponentialfunktion ikke kan beregnes eksakt ved hjaelp af polynomier og rodtegn Computere og lommeregnere bruger Taylorpolynomier og andre numeriske metoder til at udregne tilnaermede funktionsvaerdier af disse funktioner Regneregler for potenser RedigerAf definitionerne kan man udlede de 5 potensregler som bl a kan bruges ved losning af ligninger Som udgangspunkt gaelder potensreglerne kun for positive grundtal x a x b x a b displaystyle x a cdot x b x a b x a x b x a b displaystyle frac x a x b x a b x a y a x y a displaystyle x a cdot y a x cdot y a x a y a x y a displaystyle frac x a y a left frac x y right a x y z x y z displaystyle x y z x y cdot z Ud over de 5 potensregler gaelder der et antal regler i forbindelse med logaritme og rod Logaritmen til en potens kan skrives som produktet af eksponenten og logaritmen til grundtallet i potensen Dette gaelder helt uanset logaritmens grundtal log x y y log x displaystyle log x y y cdot log x Kvadratroden kubikroden og mere generelt den n te rod af et tal kan beskrives som potensoploftninger idet x m n x m n displaystyle sqrt n x m x frac m n x x 1 2 displaystyle sqrt x x frac 1 2 x 2 3 x 2 3 displaystyle sqrt 3 x 2 x frac 2 3 x 3 x 1 3 displaystyle sqrt 3 x x frac 1 3 Sammenligning med plus og gange RedigerSammenlignet med plus og gange er potens et overhead system af gange som igen er et overhead system af plus Gange fungerer ved at laegge det samme tal til et bestemt antal gange og potens fungerer ved at gange et tal et bestemt antal gange med sig selv F eks 44 4 x 4 x 4 x 4 4 x 4 x 4 x 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 Resultat 256 Ra maengde 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 Med de matematiske regneteknikker og systemer bliver det vaesentligt mindre hukommelseskraevende at lose storre regnestykker nar det forst er indlaert Se ogsa RedigerFakultet matematik ToerpotensKilder referencer Rediger en Zero to the power of zeroHentet fra https da wikipedia org w index php title Potens matematik amp oldid 10803390, wikipedia, wiki, bog, bøger, bibliotek,

artikel

, læs, download, gratis, gratis download, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, billede, musik, sang, film, bog, spil, spil.