fbpx
Wikipedia

Række (matematik)

For alternative betydninger, se Række. (Se også artikler, som begynder med Række)

En række repræsenterer i matematikken en sum af et endeligt eller uendeligt antal led. De enkelte led i rækken kan være tal eller andre matematiske udtryk. Endelige rækker kan håndteres ved hjælp af elementær algebra, hvorimod uendelige rækker kræver redskaber fra den matematiske analyse for en stringent behandling.

Indholdsfortegnelse

Uendelige rækker

Achilleus og skildpadden

Et klassisk eksempel på en uendelig række forekommer i Zenons paradoks om Achilleus og skildpadden, hvor Achilleus giver den (i dette eksempel) 10 gange langsommere skildpadde et forspring i et kapløb. I tankeeksperimentet fremkommer følgende sum

1 + 1 10 + 1 100 + 1 1000 + . {\displaystyle 1+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{1000}}+\ldots .}

De enkelte led i denne række repræsenterer den tid det tager Achilleus at indhente skildpaddens forrige position, mens summen repræsenterer den samlede tid det tager for Achilleus at indhente skildpadden.

Man bemærker et hvert led i rækken fremkommer med at tage det forgående led og multiplicere med 1 / 10 {\displaystyle 1/10} :

1 + 1 10 + 1 100 + 1 1000 + = ( 1 10 ) 0 + ( 1 10 ) 1 + ( 1 10 ) 2 + ( 1 10 ) 3 + , {\displaystyle 1+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{1000}}+\ldots =\left({\frac {1}{10}}\right)^{0}+\left({\frac {1}{10}}\right)^{1}+\left({\frac {1}{10}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{10}}\right)^{3}+\ldots ,}

hvilket kan skrives ved hjælp af summationstegnet som

n = 0 ( 1 10 ) n . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{10}}\right)^{n}.}

Denne uendelige række giver en endelig værdi trods det at den indeholder et uendeligt antal led

n = 0 ( 1 10 ) n = 1 1 1 10 = 10 9 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{10}}\right)^{n}={\frac {1}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {10}{9}}.}

Man siger at rækken konvergerer, hvilket i eksemplet har den konsekvens at Achilleus indhenter skildpadden.

Divergerende uendelig række

Havde skildpadden overmodigt tilbudt Achilleus et lignende forspring ville følgende række have forekommet

n = 0 ( 10 ) n = 1 + 10 + 100 + 1000 + . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(10)^{n}=1+10+100+1000+\ldots .}

Her er hvert følgende led ti gange større end det foregående, og det går ikke godt for skildpadden! Rækken vokser progressivt mod uendelig, når de uendeligt mange led summeres. Man siger, at rækken divergerer.

Eksemplet ovenfor er et specialtilfælde af en geometrisk række, der kan skrives som

n = 0 z n , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n},}

hvor z {\displaystyle z} er et vilkårligt komplekst tal. Denne række konvergerer for | z | < 1 {\displaystyle |z|<1} og divergerer for | z | 1 {\displaystyle |z|\geq 1} , i overenstemmelse med eksemplet, som benyttede z = 1 / 10 {\displaystyle z=1/10} og z = 10 {\displaystyle z=10} .

Et andet eksempel på en divergerende uendelig række er den harmoniske række

n = 1 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\ldots .}

I en alternerende række skifter fortegnet på hvert enkelt led, som f.eks. i den alternerende harmoniske række

n = 0 ( 1 ) n 1 n = 1 1 2 + 1 3 1 4 + = ln 2. {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\ldots =\ln 2.}

I en potensrække repræsenteres en funktion f ( x ) {\displaystyle f(x)} ved en række, hvor de enkelte led er potenser af argumentet i funktionen:

f ( x ) = n = 0 a n ( x c ) n = a 0 + a 1 ( x c ) + a 2 ( x c ) 2 + a 3 ( x c ) 3 + , {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\ldots \,,}

hvor a n {\displaystyle a_{n}} er koefficienten for det n {\displaystyle n} 'te led og c {\displaystyle c} er en konstant.

En vigtig type af potensrækker er Taylorrækkerne, som repræsenterer en analytisk funktion, f ( x ) {\displaystyle f(x)} med en række ud fra kendskabet til funktionsværdien og dens afledte for et bestemt værdi c {\displaystyle c} :

f ( x ) = n = 0 f ( n ) ( c ) n ! ( x c ) n = f ( c ) + f ( c ) ( x c ) + f ( c ) ( x c ) 2 2 + f ( c ) ( x c ) 3 6 + . {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}(x-c)^{n}=f(c)+f'(c)(x-c)+f''(c){\frac {(x-c)^{2}}{2}}+f'''(c){\frac {(x-c)^{3}}{6}}+\ldots \,.}

Her repræsenterer f ( n ) ( c ) {\displaystyle f^{(n)}(c)} den n {\displaystyle n} 'te afledte af f {\displaystyle f} i punktet c {\displaystyle c} og n ! {\displaystyle n!} er fakulteten af n {\displaystyle n} .

Taylorrækker med c = 0 {\displaystyle c=0} kaldes Maclaurin rækker.

Eksponentialfunktionen f ( x ) = e x {\displaystyle f(x)=e^{x}} kan repræsenteres simpelt ved en en sådan serie, idet f ( n ) ( 0 ) = 1 {\displaystyle f^{(n)}(0)=1} for alle n {\displaystyle n} . Herved fås

e x = n = 0 x n n ! = 1 + x + 1 2 x 2 + 1 6 x 3 + {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{6}}x^{3}+\ldots }

for alle værdier af x {\displaystyle x} .

Endelige rækker

Et eksempel på en endelig række er den såkaldte sumrække, der er en sammentælling af en ubrudt række tal, fx 1+2+3+4+5+6 = 21

Sumrække startende med 1

Hvis talrækken starter med 1, kan man i stedet for at tælle en række tal sammen, benytte en simpel formel:

S u m n = ( t a l n + 1 ) t a l n 2 {\displaystyle Sum_{n}={\frac {\left(tal_{n}+1\right)*tal_{n}}{2}}}
hvor taln er sidste tal i sumrækken.

For eksempel er summen af 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45:

S u m = ( ( 9 + 1 ) / 2 ) 9 = 5 9 = 45 {\displaystyle Sum=\left(\left(9+1\right)/2\right)*9=5*9=45}

Sumrække ikke startende med 1

Hvis man i stedet skal tælle en ubrudt delrække, som ikke starter med 1, er formlen sammensat af summen for tal1 til taln med fradrag af summen af de foregående tal, som ikke indgår i rækken.

S u m d e l r k . = ( t a l n + 1 ) t a l n ( t a l 1 1 ) t a l 1 2 {\displaystyle Sum_{delrk.}={\left(tal_{n}+1\right)*tal_{n}-\left(tal_{1}-1\right)*tal_{1} \over 2}}
hvor tal1 er første tal i sumrækken og taln er dens sidste tal.

Et eksempel er summen af 6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16 = 121:

Sum af delrække = ( ( 16 + 1 ) 16 6 ( 6 1 ) ) / 2 = 121 {\displaystyle ((16+1)*16-6*(6-1))/2=121}

  1. Se side 450 i Herman, Edwin “Jed” & Strang, Gilbert (2016): Calculus : Volume 2 : OpenStax, Rice University, Houston, Texas, USA.ISBN 978-1-947172-14-2. (online) URL: https://d3bxy9euw4e147.cloudfront.net/oscms-prodcms/media/documents/CalculusVolume2-OP_esPpXTB.pdf
  • Herman, Edwin “Jed” & Strang, Gilbert (2016): Calculus : Volume 2 : OpenStax, Rice University, Houston, Texas, USA.ISBN 978-1-947172-14-2. (online) URL: https://d3bxy9euw4e147.cloudfront.net/oscms-prodcms/media/documents/CalculusVolume2-OP_esPpXTB.pdf

Række (matematik)
række, matematik, sprog, overvåg, rediger, alternative, betydninger, række, også, artikler, begynder, række, række, repræsenterer, matematikken, endeligt, eller, uendeligt, antal, enkelte, rækken, være, eller, andre, matematiske, udtryk, endelige, rækker, hånd. Raekke matematik Sprog Overvag Rediger For alternative betydninger se Raekke Se ogsa artikler som begynder med Raekke En raekke repraesenterer i matematikken en sum af et endeligt eller uendeligt antal led 1 De enkelte led i raekken kan vaere tal eller andre matematiske udtryk Endelige raekker kan handteres ved hjaelp af elementaer algebra hvorimod uendelige raekker kraever redskaber fra den matematiske analyse for en stringent behandling Indholdsfortegnelse 1 Eksempler 1 1 Uendelige raekker 1 1 1 Achilleus og skildpadden 1 1 2 Divergerende uendelig raekke 1 2 Endelige raekker 1 2 1 Sumraekke startende med 1 1 2 2 Sumraekke ikke startende med 1 2 Se ogsa 3 Referencer 4 Eksterne henvisningerEksempler RedigerUendelige raekker Rediger Achilleus og skildpadden Rediger Et klassisk eksempel pa en uendelig raekke forekommer i Zenons paradoks om Achilleus og skildpadden hvor Achilleus giver den i dette eksempel 10 gange langsommere skildpadde et forspring i et kaplob I tankeeksperimentet fremkommer folgende sum 1 1 10 1 100 1 1000 displaystyle 1 frac 1 10 frac 1 100 frac 1 1000 ldots De enkelte led i denne raekke repraesenterer den tid det tager Achilleus at indhente skildpaddens forrige position mens summen repraesenterer den samlede tid det tager for Achilleus at indhente skildpadden Man bemaerker et hvert led i raekken fremkommer med at tage det forgaende led og multiplicere med 1 10 displaystyle 1 10 1 1 10 1 100 1 1000 1 10 0 1 10 1 1 10 2 1 10 3 displaystyle 1 frac 1 10 frac 1 100 frac 1 1000 ldots left frac 1 10 right 0 left frac 1 10 right 1 left frac 1 10 right 2 left frac 1 10 right 3 ldots hvilket kan skrives ved hjaelp af summationstegnet som n 0 1 10 n displaystyle sum n 0 infty left frac 1 10 right n Denne uendelige raekke giver en endelig vaerdi trods det at den indeholder et uendeligt antal led n 0 1 10 n 1 1 1 10 10 9 displaystyle sum n 0 infty left frac 1 10 right n frac 1 1 frac 1 10 frac 10 9 Man siger at raekken konvergerer hvilket i eksemplet har den konsekvens at Achilleus indhenter skildpadden Divergerende uendelig raekke Rediger Havde skildpadden overmodigt tilbudt Achilleus et lignende forspring ville folgende raekke have forekommet n 0 10 n 1 10 100 1000 displaystyle sum n 0 infty 10 n 1 10 100 1000 ldots Her er hvert folgende led ti gange storre end det foregaende og det gar ikke godt for skildpadden Raekken vokser progressivt mod uendelig nar de uendeligt mange led summeres Man siger at raekken divergerer Eksemplet ovenfor er et specialtilfaelde af en geometrisk raekke der kan skrives som n 0 z n displaystyle sum n 0 infty z n hvor z displaystyle z er et vilkarligt komplekst tal Denne raekke konvergerer for z lt 1 displaystyle z lt 1 og divergerer for z 1 displaystyle z geq 1 i overenstemmelse med eksemplet som benyttede z 1 10 displaystyle z 1 10 og z 10 displaystyle z 10 Et andet eksempel pa en divergerende uendelig raekke er den harmoniske raekke n 1 1 n 1 1 2 1 3 1 4 displaystyle sum n 1 infty frac 1 n 1 frac 1 2 frac 1 3 frac 1 4 ldots I en alternerende raekke skifter fortegnet pa hvert enkelt led som f eks i den alternerende harmoniske raekke n 0 1 n 1 n 1 1 2 1 3 1 4 ln 2 displaystyle sum n 0 infty 1 n frac 1 n 1 frac 1 2 frac 1 3 frac 1 4 ldots ln 2 I en potensraekke repraesenteres en funktion f x displaystyle f x ved en raekke hvor de enkelte led er potenser af argumentet i funktionen f x n 0 a n x c n a 0 a 1 x c a 2 x c 2 a 3 x c 3 displaystyle f x sum n 0 infty a n x c n a 0 a 1 x c a 2 x c 2 a 3 x c 3 ldots hvor a n displaystyle a n er koefficienten for det n displaystyle n te led og c displaystyle c er en konstant En vigtig type af potensraekker er Taylorraekkerne som repraesenterer en analytisk funktion f x displaystyle f x med en raekke ud fra kendskabet til funktionsvaerdien og dens afledte for et bestemt vaerdi c displaystyle c f x n 0 f n c n x c n f c f c x c f c x c 2 2 f c x c 3 6 displaystyle f x sum n 0 infty frac f n c n x c n f c f c x c f c frac x c 2 2 f c frac x c 3 6 ldots Her repraesenterer f n c displaystyle f n c den n displaystyle n te afledte af f displaystyle f i punktet c displaystyle c og n displaystyle n er fakulteten af n displaystyle n Taylorraekker med c 0 displaystyle c 0 kaldes Maclaurin raekker Eksponentialfunktionen f x e x displaystyle f x e x kan repraesenteres simpelt ved en en sadan serie idet f n 0 1 displaystyle f n 0 1 for alle n displaystyle n Herved fas e x n 0 x n n 1 x 1 2 x 2 1 6 x 3 displaystyle e x sum n 0 infty frac x n n 1 x frac 1 2 x 2 frac 1 6 x 3 ldots for alle vaerdier af x displaystyle x Endelige raekker Rediger Et eksempel pa en endelig raekke er den sakaldte sumraekke der er en sammentaelling af en ubrudt raekke tal fx 1 2 3 4 5 6 21 Sumraekke startende med 1 Rediger Hvis talraekken starter med 1 kan man i stedet for at taelle en raekke tal sammen benytte en simpel formel S u m n t a l n 1 t a l n 2 displaystyle Sum n frac left tal n 1 right tal n 2 dd dd hvor taln er sidste tal i sumraekken dd For eksempel er summen af 1 2 3 4 5 6 7 8 9 45 S u m 9 1 2 9 5 9 45 displaystyle Sum left left 9 1 right 2 right 9 5 9 45 Sumraekke ikke startende med 1 Rediger Hvis man i stedet skal taelle en ubrudt delraekke som ikke starter med 1 er formlen sammensat af summen for tal1 til taln med fradrag af summen af de foregaende tal som ikke indgar i raekken S u m d e l r k t a l n 1 t a l n t a l 1 1 t a l 1 2 displaystyle Sum delrk left tal n 1 right tal n left tal 1 1 right tal 1 over 2 dd hvor tal1 er forste tal i sumraekken og taln er dens sidste tal dd Et eksempel er summen af 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 121 Sum af delraekke 16 1 16 6 6 1 2 121 displaystyle 16 1 16 6 6 1 2 121 Se ogsa RedigerTalfolge 1 2 3 4 KvotientkriterietReferencer Rediger Se side 450 i Herman Edwin Jed amp Strang Gilbert 2016 Calculus Volume 2 OpenStax Rice University Houston Texas USA ISBN 978 1 947172 14 2 online URL https d3bxy9euw4e147 cloudfront net oscms prodcms media documents CalculusVolume2 OP esPpXTB pdfEksterne henvisninger RedigerHerman Edwin Jed amp Strang Gilbert 2016 Calculus Volume 2 OpenStax Rice University Houston Texas USA ISBN 978 1 947172 14 2 online URL https d3bxy9euw4e147 cloudfront net oscms prodcms media documents CalculusVolume2 OP esPpXTB pdf Hentet fra https da wikipedia org w index php title Raekke matematik amp oldid 10579498, wikipedia, wiki, bog, bøger, bibliotek,

artikel

, læs, download, gratis, gratis download, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, billede, musik, sang, film, bog, spil, spil.