fbpx
Wikipedia

Sinus (matematik)

For alternative betydninger, se Sinus. (Se også artikler, som begynder med Sinus)
Der er for få eller ingen kildehenvisninger i denne artikel, hvilket er et problem. Du kan hjælpe ved at angive troværdige kilder til de påstande, som fremføres i artiklen.
Denne artikel bør gennemlæses af en person med fagkendskab for at sikre den faglige korrekthed.

Sinus er en trigonometrisk funktion inden for matematikken, som beskriver bestemte forhold mellem siderne i en retvinklet trekant, eller y {\displaystyle y} -koordinaten til et punkt på enhedscirklen. I matematiske formler forkortes sinus til sin {\displaystyle \sin } , og tager man sinus til en vinkel θ {\displaystyle \theta } , skrives det matematisk som sin θ {\displaystyle \sin \theta } . Sinus-funktionen har mange træk tilfælles med en anden trigonometrisk funktion, cosinus, som beskriver x {\displaystyle x} -koordinaten til føromtalte punkt på enhedscirklen, og disse to funktioner danner grundlag for den tredje trigonometriske funktion tangens.

Grafen for sinus (og cosinus) udviser et karakteristisk bølgemønster, som kan bruges til at modellere en lang række fysiske fænomener.

Indholdsfortegnelse

For en retvinklet trekant gælder, at sinus til en af de to vinkler, der ikke er rette, er lig med forholdet mellem den modstående katete og trekantens hypotenuse. For trekanten, på illustrationen til højre gælder, at sinus til den vinkel "θ", der er markeret med gul farve, er lig med forholdet mellem længderne af siderne "a" og "c", dvs.:
sin θ = a c {\displaystyle \sin \theta ={\frac {a}{c}}}

Selv om denne definition bygger på en retvinklet trekant, bruges sinus-funktionen i beregninger over alle mulige trekanter i planen, med eller uden rette vinkler – bl.a. i den såkaldte sinusrelation.

Definitionen med den retvinklede trekant kan redegøre for sinus til vinkler mellem 0 og 90 grader, men ved hjælp af enhedscirklen kan man udvide definitionsmængden til sinus til alle reelle tal.

På Illustrationen til højre ses enhedscirklen, hvori er indtegnet nogle centervinkler hvis ene ben falder sammen med x-aksen (i pilens retning). Det andet ben skærer cirklens periferi i et punkt, hvis y-koordinat (markeret med små kvadrater), eller afstand til x-aksen, er lig med sinus til den pågældende centervinkel.

Centervinkler måles med den positive side af x-aksen som »nulpunkt«. Går man »mod uret« når man måler vinklen, regnes denne vinkel positivt, mens vinklen er negativ hvis man »måler medurs«.

Kurven til højre viser hvordan sinus til en vinkel θ varierer for vinkler mellem ±360° (nederste vandrette skala). Som nævnt er sinus defineret for ethvert reelt tal θ – ud over det viste interval fortsætter kurven i det samme bølge-mønster uendeligt langt til begge sider.
Man kan se at kurven aldrig kommer ud over intervallet fra -1 til 1 på y-aksen: Den såkaldte værdimængde til sinus er netop alle reelle tal fra og med -1 til og med 1.

Sinusfunktionen (for vinkler givet i buemål, mere herom senere) er kontinuert og differentiabel: Stamfunktionen, eller det ubestemte integral, til sin v er -cos v, og den afledede funktion af sin v er cos v.

Vinkelmål

Det tal man i praktiske beregninger tager sinus af, repræsenterer så godt som altid en vinkel, eventuelt en såkaldt fasevinkel – af den grund skal man, når man beregner sinus, være sikker på hvilken måleenhed vinklen er opgivet i. I teoretisk arbejde, f.eks. matematiske og fysiske beregninger, bruges den lidt specielle enhed radian; vinklens buemål eller »naturlige vinkelmål«, med mindre andet udtrykkeligt er angivet. I toppen af grafen ovenfor er indsat en skala der angiver vinklen udtrykt i radianer.
I andre, mere praktisk orienterede sammenhænge, findes en række forskellige måleenheder – kategorien vinkelenheder giver en oversigt over artikler om relevante måleenheder.
Matematiske lommeregnere har almindeligvis en tast og nogle små bogstaver i displayet til at vælge mellem »D« for »almindelige« grader, »G« for såkaldte nygrader og »R« for førnævnte radianer: Man skal have valgt det rigtige mål inden man trykker på en trigonometrisk funktion.

Sinus til visse vinkler

Vinkel a sin a
Grader Radianer Nygrader Eksakt Decimalbrøk
0 0g 0 0
180° π {\displaystyle \pi } 200g
15° π 12 {\displaystyle {\frac {\pi }{12}}} 16 2/3g 6 2 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}} 0,258819045102521
165° 11 π 12 {\displaystyle {\frac {11\cdot \pi }{12}}} 183 1/3g
30° π 6 {\displaystyle {\frac {\pi }{6}}} 33 1/3g 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 0,5
150° 5 π 6 {\displaystyle {\frac {5\cdot \pi }{6}}} 166 2/3g
45° π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} 50g 1 2 {\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}} 0,707106781186548
135° 3 π 4 {\displaystyle {\frac {3\cdot \pi }{4}}} 150g
60° π 3 {\displaystyle {\frac {\pi }{3}}} 66 2/3g 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} 0,866025403784439
120° 2 π 3 {\displaystyle {\frac {2\cdot \pi }{3}}} 133 1/3g
75° 5 π 12 {\displaystyle {\frac {5\cdot \pi }{12}}} 83 1/3g 6 + 2 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}} 0,965925826289068
105° 7 π 12 {\displaystyle {\frac {7\cdot \pi }{12}}} 116 2/3g
90° π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} 100g 1 1

For nogle få, »specielle« vinkler kan man ad geometrisk vej finde frem til eksakte værdier for sinus til disse vinkler. Tabellen til højre giver et overblik.

Ved at studere illustrationen med enhedscirklen kan man slutte sig til, at hvis man måler en vis vinkel enten med- eller modurs (hhv. en negativ og en positiv vinkel) ud fra x-aksen, får man et skæringspunkt der ligger hhv. under eller over x aksen. Men afstanden fra hver disse to punkter ind til x-aksen er den samme.
Matematisk gælder, at:
sin x = -sin -x
For tabellen til højre betyder dette, at hvis sinus til f.eks. 30° er 0,5, så er sinus til -30° lig med -0,5.

Endvidere gælder, at eftersom sinus er periodisk, er sin x = sin (x + n·360°) hhv. sin x = sin (x + n·2·π) hhv. sin x = sin (x + n·400g), hvor n er et helt tal.

Invers sinus

Hvis man »indskrænker« definitionsmængden for sinus til intervallet fra -90° til 90° (-100 til 100 nygrader eller -π/2 til π/2 radianer), får man en såkaldt monoton eller »én-til-én-tydig« funktion, og til sådanne funktioner kan opstilles en såkaldt invers funktion, som populært sagt »regner baglæns« fra sinus til en vinkel og tilbage til vinklen. For sinus' vedkommende kaldes denne inverse funktion for invers sinus.

Online-værktøjer, der udregner siderne og vinklerne på en trekant for dig:

  • http://carbidedepot.com/formulas-trigright.asp
  • http://www.mathwarehouse.com/triangle-calculator/online.php
  1. Holth (1987) s. 56-61


Sinus (matematik)
sinus, matematik, trigonometrisk, funktion, sprog, overvåg, rediger, omdirigeret, sinusfunktion, alternative, betydninger, sinus, også, artikler, begynder, sinus, eller, ingen, kildehenvisninger, denne, artikel, hvilket, problem, hjælpe, angive, troværdige, ki. Sinus matematik trigonometrisk funktion Sprog Overvag Rediger Omdirigeret fra Sinusfunktion For alternative betydninger se Sinus Se ogsa artikler som begynder med Sinus Der er for fa eller ingen kildehenvisninger i denne artikel hvilket er et problem Du kan hjaelpe ved at angive trovaerdige kilder til de pastande som fremfores i artiklen Denne artikel bor gennemlaeses af en person med fagkendskab for at sikre den faglige korrekthed Sinus er en trigonometrisk funktion inden for matematikken som beskriver bestemte forhold mellem siderne i en retvinklet trekant eller y displaystyle y koordinaten til et punkt pa enhedscirklen I matematiske formler forkortes sinus til sin displaystyle sin og tager man sinus til en vinkel 8 displaystyle theta skrives det matematisk som sin 8 displaystyle sin theta Sinus funktionen har mange traek tilfaelles med en anden trigonometrisk funktion cosinus som beskriver x displaystyle x koordinaten til foromtalte punkt pa enhedscirklen og disse to funktioner danner grundlag for den tredje trigonometriske funktion tangens Grafen for sinus og cosinus udviser et karakteristisk bolgemonster som kan bruges til at modellere en lang raekke fysiske faenomener Indholdsfortegnelse 1 Sinus og den retvinklede trekant 2 Sinus i enhedscirklen 3 Egenskaber 3 1 Vinkelmal 3 2 Sinus til visse vinkler 3 3 Invers sinus 4 Eksterne henvisninger 5 Bog 6 ReferencerSinus og den retvinklede trekant Rediger For en retvinklet trekant gaelder at sinus til en af de to vinkler der ikke er rette er lig med forholdet mellem den modstaende katete og trekantens hypotenuse For trekanten pa illustrationen til hojre gaelder at sinus til den vinkel 8 der er markeret med gul farve er lig med forholdet mellem laengderne af siderne a og c dvs sin 8 a c displaystyle sin theta frac a c Selv om denne definition bygger pa en retvinklet trekant bruges sinus funktionen i beregninger over alle mulige trekanter i planen med eller uden rette vinkler bl a i den sakaldte sinusrelation Sinus i enhedscirklen Rediger Definitionen med den retvinklede trekant kan redegore for sinus til vinkler mellem 0 og 90 grader men ved hjaelp af enhedscirklen kan man udvide definitionsmaengden til sinus til alle reelle tal Pa Illustrationen til hojre ses enhedscirklen 1 hvori er indtegnet nogle centervinkler hvis ene ben falder sammen med x aksen i pilens retning Det andet ben skaerer cirklens periferi i et punkt hvis y koordinat markeret med sma kvadrater eller afstand til x aksen er lig med sinus til den pagaeldende centervinkel Centervinkler males med den positive side af x aksen som nulpunkt Gar man mod uret nar man maler vinklen regnes denne vinkel positivt mens vinklen er negativ hvis man maler medurs Egenskaber Rediger Kurven til hojre viser hvordan sinus til en vinkel 8 varierer for vinkler mellem 360 nederste vandrette skala Som naevnt er sinus defineret for ethvert reelt tal 8 ud over det viste interval fortsaetter kurven i det samme bolge monster uendeligt langt til begge sider Man kan se at kurven aldrig kommer ud over intervallet fra 1 til 1 pa y aksen Den sakaldte vaerdimaengde til sinus er netop alle reelle tal fra og med 1 til og med 1 Sinusfunktionen for vinkler givet i buemal mere herom senere er kontinuert og differentiabel Stamfunktionen eller det ubestemte integral til sin v er cos v og den afledede funktion af sin v er cos v Vinkelmal Rediger Det tal man i praktiske beregninger tager sinus af repraesenterer sa godt som altid en vinkel eventuelt en sakaldt fasevinkel af den grund skal man nar man beregner sinus vaere sikker pa hvilken maleenhed vinklen er opgivet i I teoretisk arbejde f eks matematiske og fysiske beregninger bruges den lidt specielle enhed radian vinklens buemal eller naturlige vinkelmal med mindre andet udtrykkeligt er angivet I toppen af grafen ovenfor er indsat en skala der angiver vinklen udtrykt i radianer I andre mere praktisk orienterede sammenhaenge findes en raekke forskellige maleenheder kategorien vinkelenheder giver en oversigt over artikler om relevante maleenheder Matematiske lommeregnere har almindeligvis en tast og nogle sma bogstaver i displayet til at vaelge mellem D for almindelige grader G for sakaldte nygrader og R for fornaevnte radianer Man skal have valgt det rigtige mal inden man trykker pa en trigonometrisk funktion Sinus til visse vinkler Rediger Vinkel a sin aGrader Radianer Nygrader Eksakt Decimalbrok0 0 0g 0 0180 p displaystyle pi 200g15 p 12 displaystyle frac pi 12 16 2 3g 6 2 4 displaystyle frac sqrt 6 sqrt 2 4 0 258819045102521165 11 p 12 displaystyle frac 11 cdot pi 12 183 1 3g30 p 6 displaystyle frac pi 6 33 1 3g 1 2 displaystyle frac 1 2 0 5150 5 p 6 displaystyle frac 5 cdot pi 6 166 2 3g45 p 4 displaystyle frac pi 4 50g 1 2 displaystyle sqrt frac 1 2 0 707106781186548135 3 p 4 displaystyle frac 3 cdot pi 4 150g60 p 3 displaystyle frac pi 3 66 2 3g 3 2 displaystyle frac sqrt 3 2 0 866025403784439120 2 p 3 displaystyle frac 2 cdot pi 3 133 1 3g75 5 p 12 displaystyle frac 5 cdot pi 12 83 1 3g 6 2 4 displaystyle frac sqrt 6 sqrt 2 4 0 965925826289068105 7 p 12 displaystyle frac 7 cdot pi 12 116 2 3g90 p 2 displaystyle frac pi 2 100g 1 1 For nogle fa specielle vinkler kan man ad geometrisk vej finde frem til eksakte vaerdier for sinus til disse vinkler Tabellen til hojre giver et overblik Ved at studere illustrationen med enhedscirklen kan man slutte sig til at hvis man maler en vis vinkel enten med eller modurs hhv en negativ og en positiv vinkel ud fra x aksen far man et skaeringspunkt der ligger hhv under eller over x aksen Men afstanden fra hver disse to punkter ind til x aksen er den samme Matematisk gaelder at sin x sin x For tabellen til hojre betyder dette at hvis sinus til f eks 30 er 0 5 sa er sinus til 30 lig med 0 5 Endvidere gaelder at eftersom sinus er periodisk er sin x sin x n 360 hhv sin x sin x n 2 p hhv sin x sin x n 400g hvor n er et helt tal Invers sinus Rediger Hvis man indskraenker definitionsmaengden for sinus til intervallet fra 90 til 90 100 til 100 nygrader eller p 2 til p 2 radianer far man en sakaldt monoton eller en til en tydig funktion og til sadanne funktioner kan opstilles en sakaldt invers funktion som populaert sagt regner baglaens fra sinus til en vinkel og tilbage til vinklen For sinus vedkommende kaldes denne inverse funktion for invers sinus Eksterne henvisninger RedigerOnline vaerktojer der udregner siderne og vinklerne pa en trekant for dig CosSinCalc http carbidedepot com formulas trigright asp http www mathwarehouse com triangle calculator online phpBog RedigerHolth Klaus m fl 1987 Matematik Grundbog 1 Forlaget Trip Vejle ISBN 87 88049 18 3Referencer Rediger Holth 1987 s 56 61Hentet fra https da wikipedia org w index php title Sinus matematik amp oldid 10579547, wikipedia, wiki, bog, bøger, bibliotek,

artikel

, læs, download, gratis, gratis download, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, billede, musik, sang, film, bog, spil, spil.