fbpx
Wikipedia

Der er for få eller ingen kildehenvisninger i denne artikel, hvilket er et problem. Du kan hjælpe ved at angive troværdige kilder til de påstande, som fremføres i artiklen.

Et Taylorpolynomium er en metode inden for matematikken til at tilnærme en funktion med et approksimerende polynomium.

Formlen er fundet af den britiske matematiker Brook Taylor omkring 1715.

sin(x) og det approksimerende taylorpolynomium af orden 5

Indholdsfortegnelse

Formlen for et n {\displaystyle n} 'te-gradspolynomium, der approksimerer funktionen, f ( x ) {\displaystyle f(x)} , ud fra et givent fixpunkt, x 0 {\displaystyle x_{0}} , ser ud som:

P n ( x ) = f ( x 0 ) + f ( x 0 ) 1 ! ( x x 0 ) + f ( x 0 ) 2 ! ( x x 0 ) 2 + . . . + f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x x 0 ) n {\displaystyle P_{n}(x)=f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})}{1!}}\cdot (x-x_{0})+{\frac {f''(x_{0})}{2!}}\cdot (x-x_{0})^{2}+...+{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}}

Eller skrevet lidt mere kompakt:

P n ( x ) = i = 0 n f ( i ) ( x 0 ) i ! ( x x 0 ) i {\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\frac {f^{(i)}(x_{0})}{i!}}(x-x_{0})^{i}}

Hvor f ( i ) {\displaystyle f^{(i)}} er den i {\displaystyle i} 'te afledte funktion af f {\displaystyle f} , og i ! {\displaystyle i!} er fakultetet af i {\displaystyle i} . Generelt vil højere værdi af n {\displaystyle n} give en bedre approksimation. Det lykkedes imidlertid den tyske matematiker Carl Runge at fremstille et modeksempel, som gør approksimationen værre ved større n {\displaystyle n} . Dette er bedre kendt som Runges fænomen.

Taylors grænsefomel er en metode hvormed det bliver muligt at bestemme grænseværdier ved hjælp af Taylorpolynomier.

Under den antagelse, at funktionen f ( x ) {\displaystyle f(x)} er n gange differentiabel i det givne interval, samt at punktet man ønsker undersøgt er en del af dette interval, gælder følgende regel:

f ( x ) = f ( x 0 ) + f ( x 0 ) 1 ! ( x x 0 ) + . . . + f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x x 0 ) n + ( x x 0 ) n ϵ ( x x 0 ) {\displaystyle f(x)=f(x_{0})+{f'(x_{0}) \over 1!}(x-x_{0})+...+{f^{(n)}(x_{0}) \over n!}(x-x_{0})^{n}+(x-x_{0})^{n}\epsilon (x-x_{0})}

hvor ϵ ( x x 0 ) 0 {\displaystyle \epsilon (x-x_{0})\rightarrow 0} for x x 0 {\displaystyle x\rightarrow x_{0}}

I denne formel repræsenterer det sidste led, også kaldet epsilon-funktionen, en funktion der går hurtigere mod nul end ( x x 0 ) n {\displaystyle (x-x_{0})^{n}} . Det har ikke den store betydning, hvordan epsilon-funktionen ser ud; blot det ovenstående gælder, som udnyttes, når man finder frem til grænseværdien.

Det approksimerende polynomium for e x {\displaystyle e^{x}} viser sig at være et af de simpleste eksempler indenfor approksimerende Taylorpolynomier, så længe man bruger 0 som udviklingspunkt. Dette er som følge af, at e x {\displaystyle e^{x}} differentieret giver sig selv. Det betyder, at uanset hvor mange gange man differentierer, vil differentialkvotienten altid være 1. Her vises princippet for at finde Taylorpolynomiet af 4. grad.

f ( x ) = f ( x ) = f ( x ) = f ( x ) = f ( 4 ) ( x ) = = e x {\displaystyle f(x)=f'(x)=f''(x)=f'''(x)=f^{(4)}(x)=\cdots ={\textrm {e}}^{x}}

Som så medfører:

f ( 0 ) = f ( 0 ) = f ( 0 ) = f ( 0 ) = f ( 4 ) ( 0 ) = = 1 {\displaystyle f(0)=f'(0)=f''(0)=f'''(0)=f^{(4)}(0)=\cdots =1}

Når det ovenstående indsættes i formlen, fås følgende polynomium:

e x 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! {\displaystyle {\textrm {e}}^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}}

taylorpolynomium, sprog, overvåg, rediger, eller, ingen, kildehenvisninger, denne, artikel, hvilket, problem, hjælpe, angive, troværdige, kilder, påstande, fremføres, artiklen, taylorpolynomium, metode, inden, matematikken, tilnærme, funktion, approksimerende,. Taylorpolynomium Sprog Overvag Rediger Der er for fa eller ingen kildehenvisninger i denne artikel hvilket er et problem Du kan hjaelpe ved at angive trovaerdige kilder til de pastande som fremfores i artiklen Et Taylorpolynomium er en metode inden for matematikken til at tilnaerme en funktion med et approksimerende polynomium Formlen er fundet af den britiske matematiker Brook Taylor omkring 1715 sin x og det approksimerende taylorpolynomium af orden 5 Indholdsfortegnelse 1 Formel 2 Taylors graenseformel 3 Eksempler 4 Se ogsaFormel RedigerFormlen for et n displaystyle n te gradspolynomium der approksimerer funktionen f x displaystyle f x ud fra et givent fixpunkt x 0 displaystyle x 0 ser ud som P n x f x 0 f x 0 1 x x 0 f x 0 2 x x 0 2 f n x 0 n x x 0 n displaystyle P n x f x 0 frac f x 0 1 cdot x x 0 frac f x 0 2 cdot x x 0 2 frac f n x 0 n x x 0 n Eller skrevet lidt mere kompakt P n x i 0 n f i x 0 i x x 0 i displaystyle P n x sum i 0 n frac f i x 0 i x x 0 i Hvor f i displaystyle f i er den i displaystyle i te afledte funktion af f displaystyle f og i displaystyle i er fakultetet af i displaystyle i Generelt vil hojere vaerdi af n displaystyle n give en bedre approksimation Det lykkedes imidlertid den tyske matematiker Carl Runge at fremstille et modeksempel som gor approksimationen vaerre ved storre n displaystyle n Dette er bedre kendt som Runges faenomen Taylors graenseformel RedigerTaylors graensefomel er en metode hvormed det bliver muligt at bestemme graensevaerdier ved hjaelp af Taylorpolynomier Under den antagelse at funktionen f x displaystyle f x er n gange differentiabel i det givne interval samt at punktet man onsker undersogt er en del af dette interval gaelder folgende regel f x f x 0 f x 0 1 x x 0 f n x 0 n x x 0 n x x 0 n ϵ x x 0 displaystyle f x f x 0 f x 0 over 1 x x 0 f n x 0 over n x x 0 n x x 0 n epsilon x x 0 hvor ϵ x x 0 0 displaystyle epsilon x x 0 rightarrow 0 for x x 0 displaystyle x rightarrow x 0 I denne formel repraesenterer det sidste led ogsa kaldet epsilon funktionen en funktion der gar hurtigere mod nul end x x 0 n displaystyle x x 0 n Det har ikke den store betydning hvordan epsilon funktionen ser ud blot det ovenstaende gaelder som udnyttes nar man finder frem til graensevaerdien Eksempler RedigerDet approksimerende polynomium for e x displaystyle e x viser sig at vaere et af de simpleste eksempler indenfor approksimerende Taylorpolynomier sa laenge man bruger 0 som udviklingspunkt Dette er som folge af at e x displaystyle e x differentieret giver sig selv Det betyder at uanset hvor mange gange man differentierer vil differentialkvotienten altid vaere 1 Her vises princippet for at finde Taylorpolynomiet af 4 grad f x f x f x f x f 4 x e x displaystyle f x f x f x f x f 4 x cdots textrm e x Som sa medforer f 0 f 0 f 0 f 0 f 4 0 1 displaystyle f 0 f 0 f 0 f 0 f 4 0 cdots 1 Nar det ovenstaende indsaettes i formlen fas folgende polynomium e x 1 x x 2 2 x 3 3 x 4 4 displaystyle textrm e x approx 1 x frac x 2 2 frac x 3 3 frac x 4 4 Se ogsa RedigerAnalytisk funktion Lille vinkel Hentet fra https da wikipedia org w index php title Taylorpolynomium amp oldid 10480790, wikipedia, wiki, bog, bøger, bibliotek,

artikel

, læs, download, gratis, gratis download, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, billede, musik, sang, film, bog, spil, spil.